函数切线在高中数学解题中的妙用

◇ 福建 肖 阳

高中数学函数切线与导数知识联系紧密，是高考的常考知识点.部分函数切线习题灵活性较强，难度较大，不少学生面对题目时不知如何下手.因此教学中应做好函数切线应用的讲解，与学生一起分析不同题型的解题思路，使学生能把握解题的关键，掌握应用函数切线解题的相关技巧，促进其解题能力明显提升.

1 函数切线在公切线问题中的妙用

函数公共切线涉及的函数至少有两个，相关问题具有一定难度，因此，让学生掌握一定的解题思路尤为关键.学生解题时可通过求导得出切线斜率，然后通过设函数图象上的任意一点的坐标，分别求出各函数的切线，接着将切线相关参数对应相等，便可求得公共切线过两个函数图象上点的横坐标.结合给出的已知条件便可求得最终结果.

例1已知两个曲线f（x）=lnx，g（x）=ex-2的公共切线为y=kx+b，求k 的值.

解析

2 函数切线在恒成立问题中的妙用

使用函数切线求解恒成立问题，思路并不唯一，需要根据实际情况采用对应的解法.通常采用分离参数的方法，通过研究函数的最大值、最小值求解.但也可另辟蹊径，通过仔细研究给出的函数图象，从中找到解题突破口，以简化计算步骤.

例2已知函数f（x）=exsinx，x∈［0，］，若f（x）≥kx 恒成立，求实数k 的取值范围.

解析excosx，因为所以f′（x）＞0，表明函数f（x）在给定的定义域上递增.但是，递增的趋势如何呢？令g（x）=exsinx+excosx，x∈［0，

对函数f（x）求导得到f′（x）=exsinx+对其进行求导得到g′（x）=2excosx，显然g′（x）＞0，表明在定义域上按照斜率不断增大的趋势递增.要想满足f（x）≥kx 恒成立，只需满足其斜率最小的切线斜率大于等于k 即可.令x=0，则f′（0）=1，即其斜率最小的切线方程为y=x，要想满足题意只需k≤1.

3 函数切线在不等式中的妙用

在不等式中应用函数切线知识时，通常要将其转化为基本不等式或函数问题，借助基本不等式或函数的单调性知识求解.另外，部分习题需要根据实际情况进行适当的放缩，这就需要边求解边观察，向要求解的问题靠拢.

例3已知函数f（x）=x3-x，设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）.

解析

设切点为A（t，t3-t），由已知可知f′（x）=3x2-1，过点A 的切线方程为y-（t3-t）=（3t2-1）（x-t）.将点（a，b）代入切线方程得到b-（t3-t）=（3t2-1）（a-t），整理得到2t3-3at2+a+b=0.

要想过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0 需要有3 个实根.令g（t）=2t3-3at2+a+b，g′（t）=6t2-6at=6t（ta），显然当t∈（-∞，0），g′（t）＞0函数g（t）单调递增；当t∈（0，a），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t∈（a，+∞），g′（t）＞0，函数g（t）单调递增.要想满足其有3 个实根，则应满足g（0）＞0，g（a）＜0，即b+a＞0，b+a-a3＜0，解得-a＜b＜a3-a，得证.

4 结语

函数切线习题难度千差万别，为使学生掌握运用切线知识解题的技巧，在解题中少走弯路，应结合学生实际精心挑选相关例题，为其透彻剖析解题思路，并给其留下充足的思考、讨论时间，使其能消化吸收，不断提高其应用函数切线解题的水平与能力.