关注解三角形中的“开放性”试题

◇ 甘肃 黄丽川

由于解三角形中的“开放性”试题在题设条件方面具有不确定性，能较好地考查学生对创新试题的适应能力，有效培养学生的探索、创新精神，所以此类问题值得关注.

1 与三角函数综合，考查值域问题

例1在①C，②a2-这两个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 满 足，若m=2sin2B-2sinBcosC，求m 的取值范围.

解析

于是，m=2sin2B-2sinBcosC=1-cos2B-

点评

若选①，需考虑正弦定理与三角恒等变换的综合运用；若选②，解析过程最为简捷！

2 与三角函数综合，考查是否存在型问题

例2在①2acosB=2c-b，②（sinA+sinB）·（a-b）+bsinC=csinC 这两个条件中任选一个补充到下面问题中，若问题中的C 存在，求C 的值，若C不存在，请说明理由.

设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知，是否存在C，使得

解析

选①，问题中的C 不存在，理由如下.

因为2acosB=2c-b，所以由正弦定理知2sinAcosB=2sinC-sinB.又因为sinC=sin（A+B），所以2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB，即2cosAsinB=sinB.又因为sinB＞0，所以cosA=又因为0＜A＜π，所以

选②，问题中的C 不存在，理由如下.

由（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC 及正弦定理可得a2-b2+bc=c2，由余弦定理得cosA=又因为0＜A＜π，所以以下与选①解题过程相同.

点评

对比可知：若选①，则必须考虑解三角形中的正弦定理与三角恒等变换的灵活运用；若选②，则必须考虑解三角形中正弦定理、余弦定理的综合运用.

综上，通过对解三角形中“开放性”问题的求解，有利于增强学生对解三角形与三角函数知识的综合运用能力，有利于提高学生分析、解决问题的实际能力，有利于提升学生的数学核心素养，故必须引起我们的高度重视.