渗透数学文化 生成高效课堂——以“用二分法求方程的近似解”的教学为例

马新发

(河南省鲁山县第二高级中学,467300)

一、教学分析

1.内容分析

“用二分法求方程的近似解”一节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课.它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在的区间为依据,从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”.本节课渗透了“算法思想”、“数学逼近”等数学思想;充分体现新课程“渗透数学方法、关注数学文化以及重视信息技术应用”等理念.

2.学情分析

同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识,而二分法来自生活,是从生活中抽象而来的,只要我们选材得当,就能够激发学生的学习兴趣,达到渗透数学思想关注数学文化的目的；学生也能够很容易理解这种方法中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际,是需要学生“跳一跳”才能摘到的“桃子”.

3.教学目标

(1)通过具体实例理解二分法的概念、掌握用二分法求方程的近似解的步骤；

(2)通过观察类比、动手实践、归纳概括等活动体验函数与方程相互转化、数学逼近等思想方法,初步形成用函数观点处理问题的意识.

4.教学重点、难点

教学重点能够借助计算器用二分法求方程的近似解.

教学难点(1)概括用二分法求方程的近似解的步骤;

(2)理解用二分法求方程的近似解的步骤中的精确度.

5.教学方法及教具

教学方法学案导学法、情景类比法、探究学习法.

教具导学案、多媒体课件、计算器、展示板等.

二、课堂实录

环节1复习旧知,提出问题

师:上一节课我们学习了函数的零点及其存在性定理,哪位同学回答一下?

生1:使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点；如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

师:很好！既然函数有零点等价于方程有实数解,那么求函数的零点问题是不是都能转化为求方程的解的问题呢?我们看下面的问题.

问题1请同学们观察下面的两个方程,请思考一下怎么求解这两个方程？

(1)x2-2x-1=0；

(2)lnx+2x-6=0.

生2:方程(1)可以利用一元二次方程的求根公式求解,方程(2)不会求解.

设计意图章建跃博士指出，落实核心素养的重要抓手是“四基” 、“四能”．笔者认为,问题是激发学生主动思考的抓手,是思维的先导．问题1中方程(1)学生很熟悉,通过一元二次方程的求根公式容易得到,根据上节课知识知道方程(2)有实数解,但是并不能像方程(1)那样来求解,从而引发学生思维的碰撞,激发学生探究新知的兴趣和欲望.

师:下面我们通过一段微课了解一下数学史上数学家们对方程的解的探索(播放视频微课“中外历史上的方程求解”)．根据阿贝尔以及后人的研究,我们知道了高次方程和超越方程不存在求根公式．但是在计算数学中这是一个非常重要的课题,我们有必要寻找求其近似解的方法．这就是我们本节课要学习的内容(板书课题).

设计意图《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“2017年版课标”)中明确指出:数学文化融入课程内容[1]．数学有时候是枯燥的,而文化带有灵性,课堂需要文化来增色,学生的心灵更需要文化来浸润．这就需要老师在课堂教学中一点一滴地去落实,这样的教学设计也会更丰满更有色．微课呈现了中外历史上数学家们对方程的解的探索,既增强了同学们的民族自豪感,又在同学们心中埋下了科学探索精神的种子.

环节2师生共研,解决问题

问题2如何求方程lnx+2x-6=0的近似解?

根据所学知识,帮助学生把该问题分解为四个小问题.

分解问题1该方程的解的问题可以转化成什么问题?

生3:求方程lnx+2x-6=0 的解的问题，可以转化为求相应函数f(x)=lnx+2x-6的零点的问题.

分解问题2相应函数的零点大致在哪个区间?

生4:因为f(2)f(3)<0,所以f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)内.

师:我们如何逐步缩小这个区间呢?生活中有没有类似的例子可供参考?

生5:开放性问题,无固定答案.

师:我们共同来看一个例子．(播放中央电视台“购物街”栏目“给商品猜价格”的视频)

设计意图“2017年版课标”中指出:情境主要有“现实情境、数学情境和科学情境”[2]．该视频就来源于现实生活,采用同学们比较熟悉的例子,启发思路的同时,让同学们体会的数学与生活的紧密联系.

分解问题3类比实例,我们可以采用什么方法逐步缩小这个区间?

生6:采用取区间中点的方法.

分解问题4什么条件下停止这个缩小过程?

生7:区间满足精确度ε,即|a-b|<ε.

(PPT呈现上面的过程,给定精确度为0.1和0.01分别求解结果,深化学生对精确度的理解)

设计意图把难度较大的问题分解为几个小问题,逐个突破,层层递进,实现问题的解决,让学生体会解决复杂问题的方法．通过生生互动、师生互动,一起寻找生活中的实例,既为问题的解决提供了思路,又让学生认识到数学与生活的紧密联系.

师:请同学们用自己的语言叙述一下二分法的定义.

生8:对于在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

环节3合作探究,小组交流

例求方程 2x+3x-7=0的近似解(精确度0.1).

生9:第一步:设函数f(x)=2x+3x-7,则问题转化为求f(x)零点的近似值.因为f(x)在R上是连续不断的增函数,且f(1)=-2，f(2)=3，f(1)f(2)<0,所以 函数f(x) 有唯一的零点x0∈(1,2).

师：第二步:小组合作探究,其中两个人分别操作计算器,两个人记录,两个人共同填写各组的展示板(表格)，根据表格,结合精确度得到结果.

(请各个小组展示结果,并结合PPT对各个小组的结果进行点评)

师:根据以上的探究,请同学们概括一下用二分法求方程的近似解的一般步骤(学生叙述,老师补充).

生10:二分法的步骤：

(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε.

(2)求区间(a,b)的中点c.

(3)计算f(c):(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ii) 若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(iii) 若f(c)f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).

(4)判断a，b是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)～(4).

师:以上过程体现了“算法思想”,同时我们可以将以上过程简记为以下四个步骤:

(1)“定”——确定解所在的区间;

(2)“算”——计算区间端点函数值的符号;

(3)“分”——将解所在的区间一分为二;

(4)“判”——判定结果是否达到精确度.

设计意图掌握一种方法,需要经历模仿演练.“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”．只有通过自己亲身的模仿操作才能将知识、方法内化到原有知识结构中[3]．笔者认为,学生是课堂的主人,课堂教学中重点的深化、难点的突破一定要让学生参与.

环节4课堂训练(略)

环节5总结提升

(1)二分法的定义与步骤(授之以鱼)

(2)本节课涉及到的数学思想(授之以渔):数形结合思想、转化与化归思想、算法思想、逼近思想等.

设计意图数学核心素养的提升还是要落实在课堂学习中,通过总结,使学生实现从知识到能力,从能力到思想,从思想到素养的提升.

环节6作业布置

(1)书面作业:教材第92页第1，2，3题.

(2)课后探究:阅读教材第91-92页内容.借助互联网,了解高次方程和超越方程的其他的数值解法,如牛顿法、拟牛顿法、弦截法等.

设计意图书面作业意在强化本节二分法的理解与应用.课后探究意在通过搜集资料了解其他求方程近似解的方法,拓展学生思维,开阔学生视野；同时,给“吃不饱”的学生以继续提高的空间和契机.