例析充分必要性的常见判别方法

许万成

(江苏省建湖县第二中学，224700)

逻辑推理是数学核心素养之一．条件与结论的充分性与必要性是逻辑推理内容的重要组成部分．不少同学在学习这一部分的内容时,由于缺少方法的积累出现丢分的现象．为此,笔者根据平时的教学，给同学们提供三种常见的判断方法,希望能够有所帮助．

方法1定义法

如果命题“若p则q”为真命题,则p为q的充分条件,q为p的必要条件.

例1“x=2”是“x2-x-2=0”的______条件.

解易见当x=2作为条件时,结论x2-x-2=0肯定成立，故命题“若x=2,则x2-x-2=0”为真命题,所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分条件.

但是当x2-x-2=0作为条件时,可得x=-1或2，x=2作为结论则不一定成立，即命题“若x2-x-2=0,则x=2”为假命题，所以“x=2”不是“x2-x-2=0”的必要条件.

故答案应填写充分不必要.

方法2集合法

设条件p所对应的集合为A,结论q所对应的集合为B.若A⊂B，则p为q的充分条件；若B⊂A，则p为q的必要条件.

例2“x>2”是“x>1”的______条件.

解因为对任意x∈{x|x>2}，都有x∈{x|x>1},所以命题“若x>2，则x>1”是真命题,故“x>2”是“x>1”的充分条件．又因为存在x>1使x<2,所以命题“若x>1，则x>2”是假命题,即“x>2”不是“x>1”的必要条件.

综上，应填写充分不必要.

评注设集合A={x|x满足条件p}，集合B={x|x满足条件q}.

若A⊆B,则p是q的充分条件；

若A⊂B,则p是q的充分不必要条件；

若B⊆A,则p是q的必要条件；

若B⊂A，则p是q的必要不充分条件；

若A=B,则p是q的充分条件.

方法3等价法

因为原命题与逆否命题的真假性一致,所以当条件与结论中含有的否定较多时,我们可以使用等价法来判断条件与结论之间的充分性与必要性．

例3“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的______条件.

解因为原命题与逆否命题的真假性相同,而命题“若x+y=10，则x=2且y=8”是假命题,所以命题“若x≠2或y≠8，则x+y≠10”是假命题.故“x≠2或y≠8”不是“x+y≠10”的充分条件.

因为命题“若x=2且y=8，则x+y=10”是真命题,所以命题“若x+y≠10，则x≠2或y≠10”是真命题,所以“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的必要条件.

综上，答案为必要不充分.