曲线凹凸性分析方法及其在现实生活中的应用

王劲松

摘 要：本文针对函数曲线的凸凹性分析方法进行了簡要介绍，文章围绕在教学过程中，教师如何基于提出问题-分析问题-解决问题的方法为学生树立基本的函数凹凸性概念以及解题方法的问题进行讨论。同时，通过对典型例题的分析，加深学生对于基本概念与方法的理解。

关键词：凹凸性;拐点;思维方法

“思维是由疑问、好奇以及惊讶开始的”，对于数学教学，如何引发学生的好奇心，进而激发学生的学习兴趣显得格外重要。所以在教学中，教师需要尽力构建学生主体性氛围，使学生在自觉、主动、深层次下参与到主观学习过程中，学会自主学习。函数凸凹性教学是高等数学中导数教学的重点之一，其不仅仅体现了导数知识的应用范围，更是可以作为桥梁连接代数分析与几何问题之间的关系。因此，这一章节的教学就显得格外重要。

首先学生需要明确函数凹凸性的定义：对于函数y=f（x），若其在区间（a，b）内可导，则如果曲线y=f（x）在（a，b）内任意点的切线总位于曲线的下方，则称曲线y=f（x）在（a，b）上是凹的;如果曲线y=f（x）在（a，b）内任意点的切线总位于曲线的上方，则称曲线y=f（x）在（a，b）上是凸的。同时，对于连续曲线，其上凹与凸的分界点即为曲线上的拐点。为了引起学生的好奇心，可以让学生们自己从图中找到曲线凹凸性的规律，如下图所示，学生可以通过直观观察，自己挖掘出曲线凹凸性的区别。

接着，教师可以基于学生的观察，继续发问是否有方法可以通过计算直接判断函数的凹凸性，并借此引出基于二次导数的函数凹凸性判断方法，同时进一步提高学生们的兴趣。简单地，如果函数y=f（x）在[a，b]内连续且在（a，b）内二阶可导，则可以使用二阶导数的符号来判断函数的凹凸性，如果在（a，b）内

f "（x）>0，则曲线y=f（x）在（a，b）上是凹的，如果在（a，b）内f "（x）<0，则称曲线y=f（x）在（a，b）上是凸的。同时，对于函数y=f（x）的拐点，其两侧的二阶导数符号必然相反，且有点（x0，y0）是曲线拐点的充分不必要条件为。

进一步，基于函数凹凸性的计算方法以及拐点的判断方法，教师可以自然而然地让学生思考对于一般函数，是否可以找到一种对于函数凹凸性以及拐点位置判断的标准策略，在讨论后，教师可以对其进行总结概述，以强化学生对于方法的理解。对于一般函数，如果希望对其凹凸性进行分析，则首先需要确定函数的定义域，并在定义域上求出f "（x）=0或者f "（x）不存在的点，以对定义域进行切割，最后，将上述点作为分点将定义域分成若干个子区间，并针对函数在各个区间内的符号进行分析讨论，从而确定函数的凹凸区间以及拐点。通过将以上的标准化流程与自己讨论得到的结果进行对比，学生可以针对函数凹凸性的分析方法有更好地理解。

最后，教师可以以一两个例题为引，为学生今后解题方法做出范例，如例题1所示：

通过对于以上问题的解析，学生可以对函数凹凸性的求解方法有比较深入的理解，同时，与课上教师所讲解的内容相互呼应，通过这样层层推进的方式，使学生对数学理论知识在问题上的应用更有兴趣。

罗素说：“教育就是在教师的指导下学会自我思考。”通过问题调动学生的学习积极性，通过对问题的思考使学生在学习复杂知识的时候不感到枯燥。本文所介绍的层层推进的教学方式，不仅仅是在教会学生解决数学问题的方法，更是在培养学生的问题意识，锻炼学生对于问题的思考能力。如果学生可以在未来的学习与生活中积极、科学、进取地提出问题，解决问题，用自己的头脑思考世界，感悟世界。那么，学生的未来一定会更加丰富多彩。