圆周率是怎样算出来的

梁衡

《九章算术》成书于公元四五十年间，集我国古代数学之大成，历代有不少人曾为它作注，但都碰到一个难题，那就是圆周率（现在叫π，它是圆周和直径之比）。很古时候，人称“径一周三”，即π=3。王莽新朝时精确到3.1547，东汉时张衡又精确到3.1466，三国时刘徽为《九章算术》作注，则认为最精确的应是3.14。四百多年来众说不一。

祖冲之一接触到圆周率问题，便被困扰得坐卧不安。他的住所里，雪白的粉墙上画了一个大大的圆圈，地上也是大圈套着小圈，桌上到处是纷乱的纸。他背着手在房间里踱来踱去，一会儿好像自己走进了墙上那个大圆圈中，一会儿又好像桌上那一堆圆圈一齐涌进自己的脑子里，如乱麻一团。唉，这周径之比到底是如何得出的呢？他又回到桌前抽出刘徽注的那本《九章算术》坐下来边读边想。

这时屋里还有一个十三四岁的男孩，他是祖冲之的儿子，叫祖暅。别看他小小年纪，却天资聪颖，戏耍之余常爱在父亲身边推算那些数字和图形。今天他看到地上这许多圆圈感到很新鲜，便单腿在地上跳起圈来。突然听到父亲拍案喊道：“有了！”将他吓了一跳，忙跑过去拉着父亲的衣袖问道：“什么有了？”

“办法有了。暅儿，你看刘徽这里不是明明写着割圆术吗？只要将一个圈内接上正多边形，不断地割下去，求出多边形的周长，不就有了圆周率了吗？暅儿，你会吗？”

“我会，用爸爸教过的勾股定理一一去求就是了。”

“道理简单，算起来可就费劲了。从今天起，咱爷儿俩就来办这件事，你可要十分仔细啊。”

说完，祖冲之到院里搬来几根大竹子，操起一把刀破成细条，又一一斩成短截，整整干了两天，地上堆起了一座竹棍的小山。现在听起来奇怪，搞计算怎么先干起竹木活来？原来，当时既没有阿拉伯数字可以笔算，當然更没有现在的计算机，运算全靠一种叫算筹的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用来拼摆成各种数字。摆数字分纵横两式，一切加、减、乘、除全靠用这些木棍在桌上摆来摆去。摆数时，一般自左而右第一、三、五位用纵式，二、四、六位用横式。

再说，祖冲之将这一切准备停当之后，便在地上画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等分，然后再依次内接十二边形、二十四边形、四十八边形……他都按勾股定理用算筹摆出乘方、开方等式，一一求出多边形的边长和周长。

你想这祖冲之何等聪明，他知道求圆周率要用直径除以正多边形的周长，所以他把直径的长定为长度单位，比如说是一丈，计算多边形周长时也以丈为单位，就可以避免每次的除法运算，每个多边形周长的量数即是圆周率一个近似值，这样一次次求多边形的周长便一次次逼近圆周率了。

祖暅也在那个大圆圈里跳进跳出地帮他拿算筹，记数字。就这样直算得月落乌啼，直算得鸡鸣日升，那竹棍摆成的算式从桌上延到地下，又满地转着圈子，一屋上下全都是些竹码子。这批算筹又都是些新破的竹子，还没有来得及打磨，祖冲之用手捏着、想着、摆着，不消几日，渐渐指头都被磨破，那绿白相间的新竹竟染上了红红的血印。

正是：

公式定理虽无声，原来却是血凝成。

莫言数字最枯燥，多少前人拼搏情。

他们父子这样不分昼夜地割着算着。这天，他们割到第四次，圆周已被分为九十六份，真是如攀险峰，愈登愈难。当年刘徽就是到此止步，而将得到的3.14定为最佳数据。

夜静更深，小祖暅早已眼皮沉重，东倒西歪地想睡了。祖冲之想，这些日子也实在辛苦了这孩子，便忙打发他去睡觉。他推开窗户，深吸了几口这建康城里夜深时分甜甜的空气，看了一会儿星空，又转过身来看着地上那个大圆。那内接的九十六边形，与圆都快接近于重合了。按说能算到这一步已经实在不易，用这个数字再去为《九章算术》作注，也就完全可以了。他用拳头捶了捶酸乏的后腰，又摸摸缠着布条的手指，向墙边的书架踱去，忽然背后唰啦啦一阵响声。

他猛一回头，哎呀！原来刚才未关窗户，一阵夜风吹起窗幔，把竹筹摆起的许多算式扫得七零八落，抛撒一地。这式子刚摆完还没有来得及验算，也未抄下得数，要知每算一遍就要进行十一次加减乘除和开方，多么繁重的劳动啊！

祖冲之一下扑在地上，用还渗着血的十指捧起一掬算筹，对着沉寂的夜空，低声喊道：“老天啊！你也和戴法兴一样，如此欺人。”他一甩衣袖，索性将桌上的残式全部拂去，又重新摆布起来。

就这样不知又过了多少天，只知花开花落，月缺月圆，父子俩把地上那个大圆直割到两万四千五百七十六份，这时的圆周率已经精确到了3.14159261。祖冲之知道这样不断割下去，内接多边形的周长还会增加，更接近于圆周率，但这已到了小数点后第八位，再增加也不会超过0.00000001丈，所以圆周率必然是3.1415926<π<3.1415927。

当时祖冲之就把圆周率定在这“上下二限”之间。这上下限的提法确是祖冲之首创，他得出的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到一千年后才有阿拉伯数学家阿尔·卡西的计算超过了他，所以国际上曾提议将圆周率命名为“祖率”。