三参数幂函数与点绘法在水文Z～Q关系曲线拟合中的对比分析

覃 毅

（河池水文中心巴马水文中心站，广西 河池 547000）

0 引言

在水文实际工作中，通常采用目估法绘制一条光滑的Z～Q关系曲线，但该方法受人为主观因素影响，查读的随意性较大，且过程较为繁琐，工作效率和质量不高。Excel软件汇集了大量的图表绘制、分析处理工具及数据计算等功能，极大地满足了水文分析工作需求，利用Excel 对水文资料进行处理和分析，可以极大地减少水文工作者的工作量，提高工作效率和质量，尤其是本文提及的利用Excel中图表绘制功能及规划求解工具对Z～Q关系曲线的拟合提供了很大便利[1]，通过与人工曲线的对比分析，其拟合成果的准确性和实用性俱佳，具有广泛的推广应用价值。

1 方法的原理

1.1 Excel“规划求解”

“规划求解”是Excel 的一组假设分析程序。借助“规划求解”可求得Excel中目标单元格达到的最优值。“规划求解”将直接或间接地对与目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行优化调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。在创建模型过程中，可以对“规划求解”模型中的可变单元格数值应用约束条件，约束条件可以引用其他影响目标单元格公式的单元格[2]。

1.2 三参数幂函数与Z～Q关系曲线

通过分析实测流量点据分布散点图，我们可以大致判断其Z～Q关系曲线符合幂函数的曲线类型，为便于利用计算机进行相关的水文分析与计算，我们利用近似的幂函数表达Z～Q关系。当水位流量关系点据呈单一曲线分布时，在Excel 中应用规划求解的方法进行关系曲线拟合适宜采用三参数幂函数，即

其中：Z为水位，m；Q为流量为待率定参数。等式两边分别取对数得到：

Z、Q为一组实测水位、流量数据，三参数幂函数公式中的a，b，c可以由Excel对多组实测水位、流量数据率定而得，由式（1）（2）可知关于Z的函数与参数a、b及流量Q相关程度较高，而当Q为 0 时，Z=c，此时参数c的物理意义即为断面的河底高程。在应用规划求解的过程中，可以使得工作表上某个预设值达到最优，对于利用三参数幂函数拟合水位流量关系曲线就是存在S，使得：

2 应用实例

龙泉站位于广西河池市巴马县甲篆镇甲篆村弄拉屯，属于新建地下泉流量站，巴马县中心水文站于2018年3月起对该站开展水位流量关系率定及相关工作，去除不合理的实测点据后，目前已收集水位流量数据共28份。现利用Excel三参数幂函数拟合其Z～Q关系曲线并与人工拟合的曲线进行对比分析。

（1）将实测水位流量数据按水位从低到高排序，并绘制Z～Q关系散点图，如图1所示。

图1 龙泉站Z～Q关系散点图

（2）参数率定前的数据处理。首先在Excel 表格的两列输入实测的水位、流量数据，然后各赋予参数a，b，c一个初始值，通过式（1）计算每个实测流量Q实i对应的规划求解水位Zi，再求规划求解水位Zi与其对应实测水位Z实的方差，在表格最后一行累计方差；

（3）利用规划求解进行参数率定。单击Excel数据工具栏，找到规划求解命令，弹出对话框后，在“设置目标”对话框中选中表格最后一行累计方差单元格，规划求解是通过改变拟合参数，使得累计方差最小，故设置目标单元格的值为“最小值（N）”，“可改可变单元格”框选参数a，b，c所在的单元格。“遵循约束”应该根据实际情况设置，通过式（1）可以看出，当Q=0时，Z=c，此时c值实际上就是河底高程，为避免通过求解得到c的值小于河底高程值，可在“遵循约束”中添加一约束条件：“c所在单元格＞=250.62”（注250.62 为龙泉站河底高程值）；“选择求解方法”选择“非线性求解GRG”，然后单击“求解”命令，弹出“规划求解收敛于当前的解，可满足所有的约束”即说明参数率定成功，点击“确定”后参数a，b，c所在的单元格出现率定后的值，求解结束。

经率定后参数a，b，c的值分别为0.541，2.585和250.79，得到三参数幂函数公式即为：

3 三参数幂函数与人工点绘曲线的对比分析

3.1 人工拟合曲线

根据图1 的实测水位流量点据分散情况，采用目估的方法手工绘制一条通过散点中心的光滑曲线，该曲线就是人工拟合该站的Z～Q关系曲线，再利用人工查图的方法得到Z～Q关系曲线的推流节点数据。

3.2 三参数幂函数拟合曲线

利用规划求解后得到的三参数幂函数公式后，可再次利用Excel 计算功能，通过赋予不同的Q值，得到相应的水位Z，从而得到一系列Z～Q值，这就是三参数幂函数拟合曲线的推流节点数据。

3.3 绘制曲线

利用Excel 中的绘图功能，将上述两组推流结点数据绘制带平滑曲线的散点图，见图2。

3.4 关系曲线检验

根据《水文资料整编规范》（SL247-2012）的技术指标，按三类精度水文站精度指标对龙泉站人工拟合曲线及三参数幂函数拟合曲线进行精度检验[3]，各项指标精度检验对比结果见表1。

图2 龙泉站Z～Q关系曲线

表1 龙泉站三参数幂函数与人工拟合Z～Q曲线精度检验对比结果

3.5 对比结果及误差分析

三参数幂函数拟合的Z～Q关系曲线的各项检验指标均达到三类精度水文站标准，而人工拟合的Z～Q关系曲线的“随机不确定度”超出三类精度水文站标准。龙泉站Z～Q关系曲线精度受实测水位流量点据个数及低水紊流扰动影响，低水部分“系统误差”和“随机不确定度”偏大，龙泉地下泉流量站常年出流量较小，进行流量测验时又受仪器精度、测量条件环境等条件限制，测量结果存在误差，从关系曲线检验情况来看，三参数幂函数拟合的曲线精度较人工拟合的曲线更稳定，达到三类精度水文站指标，满足水文定线推流工作需求。

4 结语

在水文资料整编中，Z～Q关系的分析是最基础的工作之一，Z～Q关系曲线的合理性决定了流量资料推求的质量。传统人工拟合曲线受个人的经验和水平影响较大，当比例不能满足查读精度时还需对曲线作放大处理，工作略显繁琐，其分析、计算和查读的结果也因人而异，而利用Excel 规划求解工具拟合Z～Q关系曲线，不但可以更好地拟合水位、流量数据，简化Z～Q关系曲线绘制工作，而且更加方便和精确地查读水位流量数据，大大提高了工作效率，经过与人工拟合曲线对比分析，其拟合成果的准确性和实用性俱佳，在水文实际工作中具备推广应用价值。

当然，采用该方法拟合Z～Q关系曲线仍存在局限性，比如Z～Q关系呈现多条或者绳套曲线时，很难利用该方法实现曲线的拟合分析，又如在低水部分的拟合存在较大不确定性，其拟合过程还需参照手工绘制结果，低水部分若能综合两种拟合方法，可使定线更加合理精准。