基于多维隐状态HMM-GARCH模型的CVaR风险度量

(1.四川农业大学经济学院 四川 成都 611130；2.四川农业大学理学院 四川 雅安 625014)

一、基于HMM-GARCH模型的CVaR

(一)HMM-GARCH模型

本文根据可观测的收益率序列使用Baum-Welch算法[13-14]估计模型的未知参数，选用BIC准则与AIC准则作为检验模型的标准，计算公式分别为BIC=-2ln(L)+kln(T),AIC=2k-2ln(L)，其中L为似然函数值的最大值，T为样本量，k为参数个数。并利用Viterbi算法[13]估计股票收益率序列所对应的隐状态序列，再根据隐状态序列将收益率序列分为N个大类，建立N类收益率序列处于状态i={1,2,…,N}时的HMM-GARCH模型。由于HMM-GARCH模型是基于GARCH模型对市场结构突变发生前后不同状态的波动率进行估计，只是分类方法不同，因此类收益率序列的波动率模型相同，其表达形式如下：

St为rt在t时刻的状态，ωSt，αSt ,i，βSt ,j都是依赖于t时刻状态为St的参数。并且状态之间的转移服从马尔科夫状态转移概率矩阵A。

(二)CVaR方法及其检验

1.CVaR方法

CVaR(条件风险价值)是由Rockafeller和Uryasev等于2000年正式提出的一种较VaR方法更能反映金融资产尾部信息的风险计量方法，其表示资产组合损失超过VaR的条件均值。本文假设收益率序列rt=ln(pt/pt-1)服从广义误差分布(GED)，那么我们可以将CVaR计算公式[15]表达为：

2.CVaR检验

在原假设成立的情况下，统计量LR服从自由度为1的分布，其非拒绝域为：

二、实证分析

(一)样本选取与数据预处理

本文数据选取农业上市公司隆平高科股票(000998)每日收盘价计算出的日收益率序列为研究对象，计算公式为rt=ln(pt/pt-1)，pt表示t时刻隆平高科的日收盘价格，选取时间范围是从2001年1月1日至2019年12月27日，样本数量一共为4704个，数据来源于雅虎财经数据。其中，2001年1月1日至2018年12月31日为训练数据用于模型的建模，一共为4464个数据；2019年1月1日至2019年12月27日为测试数据用于检验模型的预测效果。本文的数据均采用R3.5.3软件进行处理。

(二)日收益率波动的统计特征分析

图1是隆平高科股票2001-2018年日收益率序列的时序图，从图1可以看出，日收益率在0处上下波动，较大的波动后面紧跟一个较大的波动，较小的波动后面会紧跟一个较小的波动，这说明隆平高科日收益率具有聚集性特征，其方差与时间有关，具有异方差性。另外，通过计算可以得到，2001-2018年隆平高科日收益率序列均值为0.000210，表明隆平高科日收益率整体收益是大于0。标准差为0.028261，偏度为-0.082354，隆平高科股票日收益率序列的偏度整体小于0，说明隆平高科日收益率序列分布有左拖尾性，日收益率序列在左端有较多的极端值。峰度为3.004148，峰度高于正态分布的峰度值3，因此，隆平高科日收益率序列具有“尖峰厚尾”的特征。Jarque-Bera统计量为1686.69，远大于在 5%的显著性水平下的临界值5.99，p值为2.2×10-16，因此隆平高科股票日收益率序列不服从正态分布。综上，可以判断隆平高科日收益率序列不服从正态分布且具有“尖峰厚尾”性。

图1 日收益率序列

(三)ARCH效应检验

1.对日收益率rt序列进行平稳性检验。采用ADF检验的方法，置信水平1%、5%和10%的临界值分别为-3.431632、-2.861992、-2.567053，ADF检验的t统计量为-48.38063均小于三个置信水平下的临界值，p值趋近于0。说明隆平高科日收益率序列是平稳的，可用于建模。

2.对日收益率序列自相关性检验。图2和图3分别是隆平高科股票日收益率序列的ACF和PACF图，结果显示日收益率序列有较强的自相关性。因此，可以利用ARMA模型来拟合隆平高科日收益率序列的均值方程。得出自回归模型ARMA(1,1)的均值方程表达式为：

rt=-0.4329719rt-1+0.4946964at-1+at+0.0003040

经检验ARMA模型中估计参数所对应p值显示均显著，表明模型可靠。

图2 日收益率序列ACF图

图3 日收益率序列PACF图

3.ARCH效应检验。本文对上述ARMA模型的残差序列进行ARCH-LM检验，检验结果如图4。由图4看出高阶的p值仍为0，说明该残差序列具有高阶的ARCH效应，因此可以考虑建立GARCH(p,q)模型。

图4 ARCH效应检验结果

(四)GARCH模型

由于隆平高科日收益率序列拒绝了正态分布的假设，本文建立了基于广义误差分布(GED)下的GARCH模型，对日收益率序列建立GARCH(1,1)，使用R软件进行参数估计，得出GARCH模型的均值方程和方差方程表达式如下：

rt=1.533×10-12+at

由GARCH模型可知，α1+β1=1.0289>1，夸大了波动的持续性，因此会造成模型的预测效果较差，所以传统的GARCH模型效果并不理想，本文利用状态转换的GARCH模型即HMM-GARCH模型来研究。

(五)HMM-GARCH模型

HMM-GARCH模型利用隐马尔可夫模型在状态上划分的优势，利用Baum-Welch算法估算模型的参数。首先对隆平高科日收益率序列建立隐马尔可夫模型，对隆平高科股票2001-2018年日收益率序列进行模型拟合，分别选取隐马尔可夫模型隐状态数为2、3、4、5、6进行模型检验，检验结果汇总于表1。基于BIC准则、AIC准则，最可能的HMM模型隐状态为5。根据无条件方差的大小[17]，设状态1为低波动趋势状态；状态2为中高波动趋势状态；状态3为无波动趋势状态；状态4为高波动趋势状态；状态5为中波动趋势状态。

表1 HMM模型的状态参数分析

接下来利用Viterbi算法估算隆平高科日收益率序列对应的隐状态序列，根据隐状态序列将收益率序列分为五个大类。对无波动趋势状态的状态3不作处理，并对其它四个状态对应的收益率序列分别建立HMM-GARCH模型。

状态1即低波动趋势状态的模型为：

rt=-3.455×10-4+at

状态2即中高波动趋势状态的模型为：

rt=5.133×10-4+at

状态4即高波动趋势状态的模型为：

rt=-8.530×10-5+at

状态5即中波动趋势状态的模型为：

rt=5.555×10-4+at

得到一步状态转移概率矩阵为：

三、CVaR的计算与检验

本文采用GARCH模型和HMM-GARCH模型分别计算隆平高科股票日收益率左尾概率为 1%和左尾概率为5%时的CVaR值。本文采用Kupiec失败频率检验法对CVaR的估计结果进行检验，其失败频率检验结果见表2。根据表2的检验结果，可以看出两个模型都通过了检验，但在置信水平99%和风险度量方法相同情况下，HMM-GARCH模型的失败率小于GARCH模型的失败率，估计的CVaR值更接近实际损失值，说明HMM-GARCH模型有助于隆平高科股票波动率的预测且置信水平越高，失败率越小。

表2 CVaR失败频率检验统计结果

四、结论

本文主要探讨了基于多维隐状态的HMM-GARCH模型对农业类股票收益率风险价值CVaR实证分析。首先介绍了HMM-GARCH模型和参数估计方法理论知识，再利用R3.5.3软件对隆平高科股票日收益率序列进行基本统计分析，包括正态性检验、平稳性检验、自相关检验、异方差检验。最后，选取GARCH模型以及多维隐状态的HMM-GARCH模型分别估计在置信水平95%和99%下隆平高科股票收益率风险价值，利用Kupiec 提出的失败频率检验法检验模型的准确性和精度。结果表明基于多维隐状态的HMM-GARCH模型的CVaR方法能更好的描绘和预测隆平高科股票的风险价值。