基于菲涅耳声透镜的声速与焦距的测量实验

唐召军，黄 魏，周小虎，吴晓立，樊代和

(1.成都市第七中学，四川 成都 610041；2.西南交通大学 物理科学与技术学院，四川 成都 610031)

据不完全统计，国内有97.56%和73.17%的高校开设空气中声速的测量实验和薄透镜焦距测量实验[1]. 从2019年开始，这2个实验项目也成为了全国高等学校物理基础课程青年教师讲课比赛实验题目规范表中的题目. 对中学生的物理教育而言，这2个实验项目也是全国中学生物理竞赛实验指导书涉及到的实验内容[2]. 因此，不论是对深入学习大学物理实验课程的本科生，还是对计划参加物理奥林匹克竞赛的中学生而言，这2个实验项目均具有重要意义. 在传统的物理实验参考书中，一般采用驻波法(或称极值法)和相位比较法测量超声波在空气中传播的波长，结合测量得出用于产生超声波的换能器的共振频率，最终利用超声波传播速度与波长和频率的关系得到超声波在空气中的声速. 在薄透镜焦距的测量实验中，一般采用物像距法、共轭法(或称位移法)、自准直法等测量薄凸(或者凹)透镜的焦距. 然而，无论对本科生而言，还是对有一定实验基本技能的中学生而言，如果仅仅完成教材或指导书中如上所述的简单声学和光学实验测量内容，显然在培养学生的综合实验能力方面是不够的.

菲涅耳声透镜(以下简称声透镜)是基于菲涅耳波带片衍射原理制作成的，可用于对声波进行会聚(扩散)的一种声学元件，其功能类似于光学凸(凹)透镜对光线所起的会聚(扩散)作用. 声透镜如图1所示，由同心圆环结构组成，其中，图1(a)所示的圆环最中间部分为空心结构，表示正声透镜，图1(b)所示的圆环最中间部分为实心结构，表示负声透镜，r1,r2,…,r8为各同心圆环的半径.

声透镜与菲涅耳光学透镜的原理类似，通过环状结构使经过声透镜后的声波发生干涉相长或干涉相消现象. 这样，从实际效果来看，声透镜表现出对声波的会聚或者扩散作用. 目前，关于声透镜制作方法的研究也较为成熟. 例如，雷佳雨等提出了正声透镜的理论设计方案，并在实验中对声压级分布进行了研究[3]. 陈冰心等利用有限元分析方法，得出了声波频率、半波带个数以及透镜材质的透射系数对声透镜聚焦能力的影响[4]. 王柄霖等设计出带凹槽平板型的声透镜，并对其聚焦性能进行了理论分析和数值模拟[5]. 对声透镜相关参量的研究，还成为了2016年IYPT的赛题之一[6]. 由于声透镜具有外形尺寸小、放大倍数高等优点，使得声透镜在声学领域的应用也越来越广泛. 因此，有必要在大学物理实验课程中增加声透镜的原理和功能的实验内容.

本文将声透镜引入到传统的声速测量和薄透镜焦距测量实验中，提出了综合实验方案. 该方案可将传统物理实验中声速测量技能、透镜焦距测量技能和示波器的使用技能进行综合，为提高学生的综合实验能力奠定基础.

1 综合实验方案设计

声透镜实际上等同于光学透镜，区别在于声透镜对声波(非光波)能起到会聚或者扩散的作用，且同样具有焦距这一特征参量. 根据菲涅耳半波带原理[7]，如图1(a)结构所示的实际声透镜，其同心圆环的半径rn与透镜焦距f和声波波长λ的关系为

(1)

其中，n=1,2,3,…表示环的个数. 从式(1)中可以看出，一旦声透镜制作完成(即rn确定)，则声透镜的焦距f将与声波的波长λ具有一一对应的关系. 因此，如果通过实验测量出声透镜的焦距，即相当于测量得到了声波的波长. 在此基础上，结合测量出声波的频率，最终可得出声波的传播速度. 声透镜焦距f的测量，可以借鉴传统物理光学实验中薄透镜焦距测量的实验技术.

以正透镜[结构如图1(a)所示]为例，提出综合实验方案.

实验仪器：压电换能器1对(用于产生和探测超声波)，声学透镜及游标卡尺各1个，信号发生器和双踪示波器各1台，带刻度光具座1台，同轴电缆及光学支柱和滑块若干.

实验内容和要求：1)设计方案并测量声透镜的焦距. 2)通过测量声透镜的几何参量，测量超声波的波长. 3)测量超声波在空气中的声速.

要完成实验内容1)，需要对传统薄透镜焦距测量技术进行深入思考，选择合适的测量方案对电信号进行测量. 要完成实验内容2)，可通过游标卡尺测量声透镜的几何尺寸，最后利用式(1)得出声透镜的焦距. 这部分实验内容的主要目的是：一方面训练学生正确使用游标卡尺的内尺和外尺测量直径的能力，以及正确利用作图法或最小二乘法对实验数据进行处理的能力;另一方面，也可以掌握一种精确测量声波波长的方法. 在获得前两部分数据后，可根据传统物理实验参考书提供的实验方法，进一步测量得出超声波在空气中的声速，也即完成实验内容3). 对第一部分实验内容，由于要结合电信号测量、光学焦距测量、信号发生器以及示波器的使用等相关知识和基本实验技能，因此是综合实验方案设计的重点.

2 方案可行性实验验证

实验室提供了用不锈钢材料制作成的声透镜，该声透镜使用超声波波长为8.71 mm以及焦距为50 mm这2个参量，结合式(1)而设计制作，如图2所示，声透镜的实际厚度为3.52 mm. 为了便于其放置在光具座滑块上，在其下方焊接了安装支柱. 使用2个宽度为3.3 mm的不锈钢辐条固定声透镜各个同心圆环. 固定辐条会对声透镜的焦距参量带来一定影响，但由于其数量少、宽度小，因此实验可以忽略对声透镜焦距参量的影响. 另一方面，利用不同的材料制作声透镜时，影响声压透射系数(即不同材料对声波的吸收程度不同)，但不会改变声透镜的焦距参量[4].

图2 声透镜实物图

2.1 实验内容1)的设计

要完成实验内容1)，需思考传统测量光学透镜的几种方法，结合给定的实验仪器并根据不同的原理，设计出测量方案. 与光学透镜测量焦距不同，该实验中没有发光物体作为成像的实际物体，也没有可直接用眼睛观察的成像，而是全部由声波信号和电信号实现. 因此，要完成此部分实验内容，首先应该利用信号发生器产生正弦信号，并用其驱动发射端压电换能器产生超声波. 此时，利用传统物理实验参考书中的方法[8]，即在无声透镜的情况下，通过改变信号发生器的输出频率，直接观察接收端压电换能器得到的声压信号. 当接收端声压信号最大时，即可得到压电换能器的共振频率为f0=39.92 kHz，此频率即等同于实验中超声波的频率f0. 实验装置图如图3所示，对压电换能器(A,C)和声透镜(B)做类似于光学实验中的共轴等高调节，最后利用物像距法来测量声透镜的焦距f.

图3 实验1)原理图

此时，用于研究成像规律的物体即为发射端压电换能器产生的超声波信号，而所成的像可用接收端压电换能器连接示波器来进行探测. 例如，当图3中装置A，B，C的坐标位置满足透镜成像公式时，接收端压电换能器C将测量得到峰峰值最大的电信号. 固定压电换能器A和声学透镜B，并测量得到其在光具座上的坐标值分别为xA=263.0 mm和xB=350.0 mm. 左右移动压电换能器C，并在示波器上观察接收到电信号的峰峰值. 采用类似光学透镜焦距测量中左右逼近的方法，找到接收端信号峰峰值电压最大时，对应的压电换能器C的位置. 最终得到的测量值分别为xCL=468.8 mm和xCR=469.2 mm. 因此，利用声透镜测量透镜焦距时，实际所成的像在光具座上的位置坐标为xC=(xCL+xCR)/2=469.0 mm. 根据以上测量数据，可得到透镜成像公式中的物距为u=xB-xA=87.0 mm，像距为v=xC-xB=119.0 mm. 最后利用成像公式f=uv/(u+v)，即可得出声透镜的焦距为f=50.3 mm.

该测量声透镜焦距的实验方案有2方面优点：1)该实验将用到传统的测量光学透镜实验中的共轴等高调节和左右逼近的实验技术，因此该实验可作为训练学生光具座调节技术的可选实验；2)由于用示波器观察电信号的峰峰值大小的方法代替了传统光学实验测量中成像清晰(人眼主观判断)位置的判断，可进一步提高测量精度.

2.2 对实验内容2)的可行性进行实验验证

在正确使用游标卡尺的情况下，可测量出如图2所示的实际声透镜各同心圆环直径，并计算得到声透镜半径rn[如图1(a)所示]与环数的关系，结果如表1所示.

表1 声透镜半径与环数

根据式(1)，可以得出：

(2)

从图4可以看出，所用声透镜的同心环半径的平方值与环数n呈线性关系，证明了实验中声透镜设计的准确性. 同时，通过图4还可以得出直线的斜率为k=437.4 mm2，结合实验1)中测量得出的声透镜焦距f=50.3 mm，得出超声波的波长为λ=k/f=8.70 mm.

通过相位比较法[8](利用李萨如图形)，在不使用声透镜的情况下，测量得到了超声波的波长为λc=8.71 mm. 与利用声透镜的方法相比，二者基本相同，证明了利用声透镜测量超声波的波长，也是可行的波长测量方法.

图4 声透镜与环数n的关系图

2.3 实验3)的实现

在完成实验内容1)和2)的基础上，利用测量得到超声波频率以及波长λ，并结合v=λf0完成即空气中超声波声速的测量. 由于这部分内容在传统的物理实验参考书中均有详细说明，因此不再赘述.

3 结束语

将声透镜引入传统的声速测量和薄透镜焦距测量实验中综合实验方案，可以将传统的声速测量和薄透镜焦距测量实验知识内容，与声透镜的相关知识内容相结合，进一步丰富学生的物理知识和实验技能；同时，该方案也提供了精确测量超声波波长的方法，可以测量出超声波在空气中的声速. 该方法使用了示波器测量压电换能器接收端的电压值，避免了在传统光学透镜焦距测量中由于依靠人眼观察像的清晰位置而引入的误差. 实际实验中，可对数据进行多次测量、计算及分析不确定度.