搞清定义，搞定实数

王月

很多同学在学习“实数”这一章的时候，总感觉题目都会做，但又总是出错。这其中有一部分错误是审题不清导致的，还有一部分是由于没有彻底搞清楚定义而产生的错误。大家想避免这些错误吗？下面，老师选出同学们出错率较高的几个问题，希望大家能找找出错的原因，避免重蹈覆辙。

一、不能正确理解平方根和算术平方根的意义

例1√81的算术平方根是（ ）。

A.9

B.+9

C.3

D.±3

【错解】A、D。

【错解分析】不少同学由于没有正确理解算术平方根的意义而错选，当然，也不排除审题不清的情况。

我们来看一下，√81本身就表示81的算术平方根，因此√81=9。于是本题可转化为求9的算术平方根。而算术平方根指的是平方根中非负的那一个。9的平方根是+3，所以9的算术平方根是3。

因此，选项A、B、D错误。

【正解】选C。

例2 已知16（X+2）²-81=0，求x的值。

【错解】x=1/4。

【错解分析】很显然，错解中漏掉了一个平方根。我们知道，正数的平方根有两个，它们互为相反数。

二、对立方根的概念理解不透彻

例3下列说法正确的是（ ）。

A.1的立方根是±1

B.-27没有立方根

C.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数

D.立方根等于本身的数是±1

【错解】A、B、D。

【错解分析】有些同学对立方根的概念缺乏正确的理解或理解不透彻，容易与平方根的概念产生混淆，从而导致出错。

由于正数的平方根有两个，所以有些同学误以为正数的立方根也有两个，这显然是不对的。正数的立方根只有一个，且仍是正数，所以1的立方根是1，因此A选项错误。

有的同学同样受平方根的影响，认为负数没有平方根，就误以为负数也没有立方根。同学们，任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是負数，0的立方根是0。所以-27的立方根是一3，因此B选项错误。

根据立方根的定义，“如果x3=a，那么x叫作a的立方根”，我们可以计算得到1的立方根是1，0的立方根是0，一1的立方根是一1。立方根等于本身的数有±1和0，因此D选项错误。

【正解】选C。

三、不能正确区分有理数和无理数

【错解分析】3√9是有理数吗？有些同学对立方根概念不理解，又受9÷3=3的影响，以为3√9是3，是有理数。事实上，9的立方根并不是3。因为3的立方是27，所以3不是9的立方根。9的立方根就是3√9歹，是个无理数。

π是无理数，所以π/2仍然是无理数。

对于√4这个数，从形式上看，虽然它含有√，但是它表示4的算术平方根，因此√4=2，所以√4是有理数。

我们知道，“能写成分数形式同m/n（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数”，因此一22/7是有理数。有些同学会用22除以7，除了几次之后发现没有循环，因此误以为它是无限不循环小数。但如果我们保持耐心，多除几次的话，就会发现，22÷7=3.142857142857…是无限循环小数，是有理数。

一√8=一2√2.因为√2是无理数，所以2√2也是无理数，即一√8是无理数。同学们，你们知道为什么√2是无理数吗？根据无理数的定义，无理数是一个无限不循环小数。直接证明√2是无限不循环小数可能有点困难，我们可以用反证法，即证明√2不是有理数。有兴趣的同学可以尝试一下。

小学时，对于圆周率π我们经常取其近似值3.14来进行计算，但是π≠3.14。π是无理数。但3.14是有限小数，是有理数。

0.313 113 111 3…（相邻两个3之间依次多一个1）是一个无限不循环小数，因此它是无理数。