走向思维的通透

则顾娟

摘要：数学教学的主要目的是“发展学生的思维”（尤其是理性思维）。对此，要走向“通透”：灵活建立关联，深度理解本质。思维通透是小学数学教学的价值追求：从“孤立”到“整体”，追求学科价值;从“特殊”到“一般”，追求理论价值;从“符号”到“生活”，追求实践价值;从“理性思维”到“理性精神”，追求文化价值。小学数学教学走向思维通透的实施要则有：讲求知识与学习的统一;调和理性与感性的矛盾;指向存储与运用的转换;注重局域与广延的协调;寻找简明与混沌的平衡。

关键词：思维通透数学知识儿童学习

“数学是思维的科学”（或者说体操），数学教学的主要目的是“发展学生的思维”（尤其是理性思维），帮助学生获得认知的建构。“通透”在《现代汉语词典（第7版）》中有两种解释，一种是“没有阻碍，空气、光线等可以穿透过去”，另一种是“通达透彻”。就数学教学而言，其意以后者为基础：通，意在沟通联系;透，旨在揭示本质;通透，即灵活建立关联，深度理解本质。

数学的逻辑性与抽象性（理性），决定了数学思维追求通透。而儿童思维的直觉性与具象性（感性），更要求小学数学教学走向学生思维的通透。这具体地表现为数学知识之间的联结通畅，解决数学问题策略的运用自由，个体内部生成数学经验、感悟等的机制较为灵活、便捷，进入新的知能台阶的能力较强，等等。

一、思维通透：小学数学教学的价值追求

（一）从“孤立”到“整体”，追求学科价值

在学习学校的“正规数学”之前，儿童拥有的数学知识是零散的、孤立的，需要通过学习，使之系统化、结构化、整体化。正如著名数学教育家斯根普指出的：“儿童所需要的帮助是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识， 同时扩展他们的这种知识 ，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”

走向思维通透的小学数学教学，以原有概念为起点，瞄准儿童的“最近发展区”，帮助儿童在头脑中逐步形成系统的知识结构和逻辑构架，从而获得表征为思维发展的学科价值。

（二）从“特殊”到“一般”，追求理论价值

数学是“模式的科学”，因此我们并非针对各个特殊的现实情境从事研究，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到更为普遍的“模式”。这些“模式”的形成，能促使儿童在面临新问题时进行主动的正迁移。

走向思维通透的小学数学教学，提供自主探究“模式”的广阔空间，让儿童进行从“特殊”到“一般”的跨越，成为理论的“创建者”。

（三）从“符号”到“生活”，追求实践价值

著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔指出：“作为计算者，人们容易忘记其所涉及的数以及他所面对的文字题中算术问题的来源。但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算法的简单性回到多样化的现实。”

走向思维通透的小学数学教学，还要将知识由“符号”复归于生活，应用于生活，讓儿童拥有数学的眼光，把握“存在于多样性之中的简单性”，体会理论的实践价值。

（四）从“理性思维”到“理性精神”，追求文化价值

“数学文化是以数学科学为核心，以数学的精神、思想、方法、内容等辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与其有关的各种文化现象。”

走向思维通透的小学数学教学，让课堂体现现实生活，浸润数学文化，引导儿童深入思考，从“数学及与其有关的各种文化现象”中体会智性愉悦，形成理性思维，进而培育理性精神，获得文化价值。

二、走向通透：小学数学教学的实施要则

（一）讲求知识与学习的统一

在汉语词源中，“识”的本义是用语言描述图案的形状和细节，而引申义是区别、辨别。数学知识是准确描述现实世界中数量关系和空间形式的语言。数学知识的形成过程就是数学的发展史。学习则是指通过多种方式获得知识或技能的过程。儿童的学习要遵循一定的心理规律，基于原有的认知经验主动建构。数学知识的形成过程与儿童学习数学知识的过程既有内在的联系，也有较大的区别，可能是脱节甚至不相关的。小学数学教学要实现思维的通透，就要找到两者之间的关联，将学术形态的知识改造成教育形态的知识，让知识的形成过程与儿童的学习过程统一起来。

1.以“世界”为源泉，让儿童用数学的眼光观察生活。

数学知识的形成过程是从数学概念出发，通过逻辑推理，逐步形成不同结构的数学命题。儿童学习数学知识的过程则是从自己的生活经验出发，逐步抽象出数学概念。我们可以把数学问题融于生活情境中，让儿童从生活情境中抽象出数学问题，借助生活经验解决数学问题，从而“生长”出数学知识。这样，儿童就能理解“学校境域中的数学”与“日常生活中的数学”之间的区别与联系，学会用数学的眼光观察生活，丰富数学学习经验，最终达到知识的形成过程与自己的学习过程的统一。

2.以“生长”为主线，让儿童经历和体验探索、生成的过程。

数学知识是节节“生长”的，儿童的数学学习需要经历和体验知识的自然“生长”，完成对知识的主动建构。小学数学教学强调对数、形的感悟。儿童的感悟来源于亲身的经历和体验，无论是渐悟，还是顿悟，其经历和体验都是不能被替代、不能被忽略的。小学数学教学要实现思维的通透，就必须实现儿童和知识的共同“生长”，让儿童紧扣知识的本意，循序渐进地展开探索和生成，感受数学严谨的思维方式。这样，有助于儿童寻获知识的本源，构建知识之间的联系。

3.以“数学化”为方向，让儿童的思维逐步走向抽象。

弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识和改造世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织，这样的过程就是“数学化”。“数学化”可分为两个层次：水平数学化和垂直数学化。水平数学化是把现实问题转化为数学问题，垂直数学化则是对已经符号化的问题做进一步的抽象化处理。数学知识的形成是一个“数学化”的过程;儿童的数学学习从具体到抽象，也是一个“数学化”的过程。小学数学教学要实现思维的通透，必须从儿童的经验出发，但是不仅仅停留在具体和直观的水平，而是让经验先水平数学化，再垂直数学化，从而上升为抽象的认识，达到深度理解，进一步发展思维。

（二）调和理性与感性的矛盾

数学是理性的，它将“火热的思考”变为“冰冷的美丽”。儿童是感性的，是内心情感丰富充盈的生命个体。如何才能调和数学的理性和儿童的感性之间的矛盾，打通两者之“隔”，将其合而为一呢？笔者认为，创设情境是一条有效的路径。根据小学数学教学的实际，创设多样的情境，让儿童自主寻获自己与数学之间的联系“密码”，最终抓住数学的核心，思维之路就随之豁然开朗，走向通透。

1.创设探究之境。

“数学教学创设的情境应该具有探究的特点。我们应该把儿童带入一种探究的情境中，让他们喜欢上数学。”在小学数学教学中，创设探究的情境，以“问题”为引领，以“情感”为动力，激发儿童解惑的强烈欲望，可以推动儿童主动探究，寻求自己的发现，借由“理寓其中”的情境发展数学理解，启迪数学智慧。

2.创设想象之境。

爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，想象力是科学研究中的实在因素，是知识进化的源泉。”想象力是头脑中创造一个想法或画面的能力，是形象思维能力的主要形式之一。数学想象就是对数学进行形象的思考，创造出想法或画面。在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法一样，数学家们通常会利用高度的直觉和想象。在小学数学教学中，创建适宜想象的情境，给儿童留足想象的时间，引导儿童充分展开空间想象、符号想象、图式想象等，可以培养儿童的创造力和想象力。

3.创设文化之境。

数学课程要体现数学文化，弘扬人文精神，这已经成为普遍的共识。“在基础教育阶段，我们不可能让儿童真切地了解整个数学文明的巨大价值，但是应当用尽可能通俗易懂的故事，适度地将数学文明的价值告诉他们。”重演、再现数学知识的发现历程，或使人类数学文明发展之路“故事化”，或将文学创作与数学思考相融合，从文化发生的角度设计教学，可以帮助儿童在获取数学知识、掌握数学技能的同时，从人类文明发展史中了解数学的作用，丰富自己的精神世界。

（三）指向存储与运用的转换

从学习心理学的角度看，“存储”是通过一系列编码，让知识进入长时记忆;“运用”是从长时记忆中提取知识，解决新的问题。存储与运用的转换其实就是常见的心理活动：问题解决。加拿大学者约翰·罗伯特·安德森把“问题解决”定义为任何受目标指引的认知性操作序列，将需要开发出新步骤的问题解决称为“创造性问题解决”，将使用旧步骤的问题解决称为“常规性问题解决”。数学教学讲求问题解决，而走向思维通透的小学数学教学主张让儿童形成网络化的存储方式，掌握多样化的运用方式，在存储与运用的转换中提升思维水平。

1.一种问题匹配一种思路。

面对一个新的问题时，儿童需要经历一个探索的过程，习得一种解决问题的思路。再次碰到同一类问题时，儿童就能用现成的步骤、思路来解决，即转化为常规性问题来解决。日积月累，儿童就丰富了解决问题的经验，提升了解决问题的能力。

2.一种问题匹配多种思路。

小学数学教学要实现思维的通透，就要着力提升儿童思维的发散性，鼓励儿童以开放的态度对待问题：探索时，能大胆创新，开发新的思路;遇到困难时，能另辟蹊径，寻找不同的切入点;解决问题后，能一题多解，寻找解决问题的最佳路径。

3.多种问题匹配一种思路。

小学数学教学要实现思维的通透，还要大力提升儿童思维的聚合性，打通具体问题与数学模型之间的思维通道。将多种问题做比较，归纳得出共通的思路，能快速有效地解决更多的问题。也就是说，要先将具体问题统整为数学模型，再反过来，丰富数学模型的现实意义。

（四）注重局域与广延的协调

“局域”和“广延”二词由现代信息技术名词“局域网”和“广域网”引申而来。在数学教学中，“局域”指某个有限的领域，“广延”是某个领域的多向延伸。每节课的数学知识都是一个局域的知识结构，却内隐着知识的脉络，蕴含着走向广延的可能。走向思维通透的小学数学教学旨在打通知识之间的联系，不仅要构架一个明确的局域，还致力于拓展一个可能的广延，以帮助儿童形成结构化的思维。

1.局域网络，打通领域内联系。

小学数学课程分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域。同一领域的知识点，分布在不同的年级，螺旋上升，逐步推进。教学时，对于相似的知识，要注重呈现、展开方式的相似性，并且在恰当的时机组织比较、反思，促使儿童产生正迁移，形成相应的认知结构。这样，他们以后遇到同一领域的内容，也能主动展开探究，明晰相应领域内的知识联系，对数学知识的纵向联结内化于心，成为数学知识的主动建构者。

2.广延网络，打通领域间联系。

数学领域间的联系往往是隐蔽的，多在数学思想方法层面，如数形结合思想、化归思想、转化思想、类比思想、建模思想等。目前广泛提倡的“四基”教学，就特别强调数学基本思想方法。因此，我们还要将不同领域的知识做勾连对比，促使儿童探究知识背后蕴含的思想方法，将数学知识的横向联结内化于心，成为数学知识的全面建构者。

纵横勾连，构架“局域”与“广延”的知识网络，总结和重构其深层结构，探究和把握思想方法，能够帮助儿童提升整体认识，增强结构化思维，从“学会”走向“会学”，实现思维的通透。

（五）尋找简明与混沌的平衡

“简明”和“混沌”都是儿童数学学习过程中的思维状态。“简明”是简约明了的理解，“混沌”则是模糊不清的认知。儿童思维的提升从来都是在“简明”和“混沌”之间穿行的。走向思维通透的小学数学教学高度，重视对混沌心理状态的探究，寻求适宜的时机，厘清事物的关系，从而抵达基于儿童认知规律的简明。

1.儿童需要经历暂时的混沌。

弗赖登塔尔认为，在数学教学中，教师“决不可对内容做任何限制，更不可对学生的发现做任何预置的‘圈套”。他说，泄露一个可以由儿童自己发现的秘密，是坏的教学法，甚至是一种罪恶。事实也正是如此。如果数学教学让儿童的思维由“通透”到“通透”，那么，这种“通透”一定是浮于表面的，而且是短暂的、假性的。要走向思维的通透，数学教学就不能指望一蹴而就，因为通透的前奏往往是需要摸索的混沌状态，儿童对此认识、思考、再认识、再思考，经历懵懂、尝试、错误、修正，从而逐步领会，最终达到通透的数学学习之境。