具有解析式位置正解的三平移并联机构设计与分析

沈惠平 曾博雄 尤晶晶 李 菊 许正骁 杨廷力

(1.常州大学现代机构学研究中心， 常州 213016; 2.南京林业大学机械电子工程学院， 南京 210037)

0 引言

三自由度的三平移(3T)并联机器人机构驱动元件少、结构紧凑、设计制造及控制成本较低，在工程应用中得到了广泛应用。CLAVEL[1]于1988年发明Delta 3-DOF平移并联机构，之后一些学者对Delta的衍生操作手进行了研究[2-4]；TSAI等[5-6]提出一种移动副驱动、支链含4R平行四边形机构的三自由度移动并联机构；文献[7-8]对3-RRC型三平移并联机构进行了运动学和工作空间分析；KONG等[9]提出了一种三自由度3-CRR机构，该机构具有良好的运动性能，且没有明显的奇异位置；LI等[10-11]提出了3-UPU型三平移机构，并对该机构的瞬时运动学性能进行了分析；于靖军等[12]基于螺旋理论对三维平动并联机构构型进行了综合分析；陆晶等[13]提出了一种3-RRRP(4R)三平移并联机构，并进行了运动学和工作空间的分析；杨廷力等[14-16]基于单开链单元理论对3T0R型并联机构进行了型综合，综合出多种新机型，并对它们进行了分类；ZHAO[17]考虑运动学的各向异性，对一种三平移并联机构进行尺度综合及其运动学研究；ZENG等[18-20]设计了一种三平移Tri-pyramid并联机构，并对其位置方程的正反解、雅可比矩阵、各向同性等运动学特性进行了分析；PRAUSE等[21]对多种三平移并联机构分别进行了维数综合、边界状况、工作空间等特征的比较，并选出了性能较好的机构；MAHMOOD等[22]提出了一种三自由度3-[P2(US)]机构，并进行了运动学和灵巧度分析。

上述三平移并联机构一般存在两大问题：① 机构耦合度不为零，即κ≥1时，一般得不到解析式位置正解，而只能得到数值解，这对误差分析、尺度综合、刚度分析及动力学研究带来较大的不便。② 不具有输入-输出运动解耦特性[23-24]，这使运动控制及轨迹规划等较为复杂。这两者给应用带来了困难。

当并联机构具有解析式位置正解时，后续的研究内容易于进行：用输入量表示全局奇异位形方程，进行操作度的性能评估及结构参数的全域优化；建立运动学误差模型，并进行影响因素的敏感度分析；推导灵活工作空间的解析表达式；动力学方程的正解求解精度、效率与稳定性评估。具有解析式位置正解的并联机构的拓扑设计与分析一直是机构学工作者不断研究的方向之一，但目前设计的具有解析式位置正解的并联机构拓扑类型较少。

本文根据基于方位特征(Position and orientation characteristics，POC)方程的并联机构拓扑结构设计理论与方法[15-16]，设计一种仅由移动副和转动副组成且具有解析位置正解、部分运动解耦的新型三平移(3T)并联机构，并对其位置正逆解、机构奇异性位形、工作空间以及速度与加速度等进行分析。

1 并联机构设计及拓扑分析

1.1 机构的拓扑设计

本文提出的三平移机构，由动平台1、静平台0以及2条混合支链(HSOC)组成,如图1所示，其拓扑结构如下：

图1 3T并联机构简图

(1)右侧混合支链Ⅰ由一个平面两滑块四转动副6杆机构(简称2P4R平面机构)回路的中间构件11上，串联两个轴线相互平行的转动副R3与R4，且R4副与动平台1相连。显然，混合支链Ⅰ上2P4R平面机构的中间杆11的输出运动为两平移一转动(2T1R)。混合支链Ⅰ的拓扑结构等效地记为：

(2)左侧混合支链Ⅱ由移动副P3与2个4R平行四边形机构串联而成，从P3副到动平台1相连的平行四边形RaiRbiRciRdi(i=1,2)，分别记为①、②；其中，P3副与平行四边形①在同一平面内刚性连接后，与平行四边形②在其垂直平面内连接。混合支链Ⅱ上平行四边形①的输出杆S点的输出运动为两平移(2T)，而平行四边形②的输出杆T点的输出运动为三平移(3T)。混合支链Ⅱ的拓扑结构等效地记为：HSOC2{-P3-P(4R)-P(4R)-}。

(3)移动副P1、P2、P3与静平台0相连，P1与P2副为共轴线布置，且P1‖P3；机构运动时，2P4R平面机构与平行四边形①的运动平面始终平行。

当静平台上的3个移动副以相同的速度运动时，该机构可实现大范围的操作移动；而当其取不同的速度时，可实现小范围内的精确作业。因此，该机构适合于长度方向大尺寸工件的机加工、喷涂、铆接等操作工艺。

1.2 机构拓扑特性分析

1.2.1机构POC计算

并联机构POC方程[15]为

(1)

(2)

式中MJi——第i个运动副的POC集

m——运动副数量

Mbi——第i条支链末端的POC集

n——支链条数

MPa——机构动平台的POC集

取动平台1上的任一点为基点O′，则由式(1)可得

由式(2)可确定动平台POC集为

由此表明：动平台1上任一点的POC集为三平移零转动；即机构中的混合支链Ⅱ本身已实现三平移的设计要求，是它约束了混合支链Ⅰ末端构件的2个转动输出，从而使得动平台仅产生三平移输出。

1.2.2机构自由度计算

并联机构的全周DOF公式[15-16]为

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——机构自由度

fi——第i个运动副的自由度

v——独立回路数

ξLj——第j个独立回路的独立位移方程数

Mb(j+1)——第j+1条支链末端构件POC集

该机构包含两个独立回路，具体为：

显然，其独立位移方程数ξL1=3。

②(R3‖R4和混合支链Ⅱ)与上述2P4R平面机构组成第2个独立回路，即

LOOP2{-R3‖R4-P(4R)-P(4R)-P3-}

由式(4)可得

由式(3)可得机构的自由度F为

因此，该机构自由度为3，当取静平台0上的移动副P1、P2、P3为驱动副时，动平台1可实现3个平移的运动输出。

1.2.3机构耦合度κ计算

由基于序单开链(SOC)单元的机构组成原理[15-16]知，一个机构可以分解为若干个最小子运动链(Sub- kinematic chain, SKC)，每个SKC仅包含一个基本运动链BKC，所谓BKC是指DOF为零且其任意一个子运动链DOF大于零的最小运动链；而一个SKC又可分解为若干个单开链,第j个单开链SOCj的约束度定义为

(5)

式中mj——第j个SOCj的运动副数量

fi——第i个运动副的自由度

Ij——第j个SOCj的运动副数量

对一个SKC而言,需满足

因此,其耦合度

(6)

κ揭示了机构回路运动变量之间的关联、依赖程度；κ越大,机构的耦合性越强，运动学、动力学分析复杂度越高。

1.2.2节已计算出上述两个回路的独立位移方程数，分别为ξL1=3，ξL2=5；因此，两个回路的约束度由式(5)分别计算得

于是，由式(6)得

这样，该机构只包含一个SKC,且该SKC的κ=1；一般情况下，求解这类机构位置正解时，仅需在约束度为正值(Δj>0)的回路上设定一个虚拟变量；然后，在约束度为负值(Δj<0)的回路上建立一个含这个虚拟变量的位置约束方程，再通过一维搜索法可求出该虚拟变量的真实值，从而求得该机构的位置正解。

但由于此机构特殊的三平移方位特征约束，可直接通过约束度为负值(Δj<0)的回路作用于约束度为正值(Δj>0)的回路的几何约束(即：杆11的运动始终平行于静平台)，求出该虚拟变量，从而直接求得机构的解析式位置正解。

2 机构位置分析

2.1 基于SKC-SOC的机构位置正解求解原理

由式(5)可知，每个SKC可分解为一系列约束度为正值、零、负值的回路，因此，机构位置正解的求解，可转换为该SKC内回路的位置求解，而3种回路的约束特性及其建模方法分别为：

2.2 坐标系的建立及参数标注

该机构的运动学建模如图2所示,设静平台0为长、宽分别为2a、2b的矩形，以静平台0的几何中心为原点，建立笛卡尔静坐标系OXYZ，X、Y轴分别垂直、平行于A1A2连线，Z轴由右手法则确定；动坐标系O′X′Y′Z′原点位于动平台1的中心，X′、Y′轴分别重合、垂直于D2F3连线，Z′轴由右手法则确定。

设3个驱动杆2的长度为l1，混合支链Ⅰ上连杆9、10的长度为l2，中间杆11、12的长度分别为l3、l4。

混合支链Ⅱ上平行四边形短杆3、6的长度为l5，长杆4、7的长度为l6；平行四边形之间的连接杆5的长度为l7，连接杆8的长度为l8；动平台1上D2F3连线的长度为2d。

图2 3T机构的运动学建模

设B1C1与Y轴正向的夹角γ为虚拟变量；D1D2、D3E3与X轴正向的夹角分别为α、β。

2.3 位置正解分析

该机构的位置正解求解归结为：已知静平台0上3个点Ai(i=1,2,3)移动位置yA1、yA2、yA3，求动平台1上O′点的坐标(x,y,z)。

(1)约束度为正的第1回路(LOOP1)的求解

LOOP1：A1-B1-C1-C2-B2-A2

在静坐标系OXYZ中，易知点Ai、Bi(i=1,2,3)的坐标分别为A1=(-b,yA1,0)、A2=(-b,yA2,0)、A3=(b,yA3,0)；B1=(-b,yA1,l1)、B2=(-b,yA2,l1)、B3=(b,yA3,l1)。

由1.2.1节可知，由于动平台1三平移的特殊方位约束，机构运动过程中,2P4R平面机构的中间构件11始终平行于静平台0,即C1C2‖A1A2,则有

zC1=zC2

(7)

因此，点C1、C2的坐标分别为

C1=(-b,yA1+l2cosγ,l1+l2sinγ)
C2=(-b,yA1+l2cosγ-l3,l1+l2sinγ)

由几何约束B2C2=l2，并整理、简化有

ABcosγ+B2=0

当B=0时，无法求出虚拟变量γ的值，此时，机构发生输出奇异，机构在运动过程中应当避免这种情况发生。

当B≠0时，可求出虚拟变量γ的值，此时有

(8)

其中A=2l2B=yA1-l3-yA2

这样，约束度为负的第2回路作用于约束度为正的第1回路上的特殊几何约束方程式(7)，是直接求出虚拟变量γ解析解的关键，这是本机构拓扑结构具有的求出位置解析解的一个特点。γ求出后，机构第2回路上其余运动副的位置可容易求解。

(2)约束度为负的第2回路(LOOP2)的求解

LOOP2：D1-D2-F3-E3-D3-C3-B3-A3

由点C1、C2求出点D1、D2的坐标分别为

D1=(-b,yA1+l2cosγ-l3/2,l1+l2sinγ)D2=(-b+l4cosα，yA1+l2cosγ-l3/2，l1+l2sinγ+l4sinα)

同时，可计算得O′点的坐标为

O′=(x,y,z)=(-b+l4cosα+d,yA1+l2cosγ-l3/2,l1+l2sinγ+l4sinα)

(9)

进一步,点F3、E3、D3、C3的坐标用O′点的坐标分别表示为

(10)

由几何约束B3C3=l6，并令

l4sinα-l6sinβ=t

(11)

则有

(H1+t)2-H2=0

(12)

由于机构运动时2P4R平面机构与平行四边形①的运动平面始终平行，因此，恒有

yD1=yD3

(13)

l4cosα+2d-l6cosβ=2b

(14)

再从式(11)、(14)中消除β,则有

J1sinα+J2cosα+J3=0

令

(15)

其中

J1=2l4tJ2=4l4(b-d)

最后，将式(8)、(15)所求得γ、α代入式(9)，即可得动平台1上O′点的坐标(x,y,z)。

由式(8)知

γ=f1(yA1,yA2)

由式(15)知

α=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(9)知

即该机构具有部分输入-输出运动解耦性，这对动平台的轨迹规划和运动控制是有利的。

为理解方便，上述计算过程描述如图3所示。

图3 机构位置正解流程图

Fig.3 Flow chart of direct position solutions

由此可知，几何约束方程式(7)，以及式(13)、(14)分别是求出本机构第1、2回路位置方程解析式的关键。

2.4 位置反解分析

该机构反解求解可归结为：已知动平台1上O′点的坐标(x,y,z)，求静平台0上3个点Ai(i=1,2,3)移动位置yA1、yA2、yA3。

由式(9)可求出α为

(16)

再由式(14)可求出β为

(17)

进一步，求出点C1、C2的坐标分别为

C1=(-b,y+l3/2,z-l4sinα)
C2=(-b,y-l3/2,z-l4sinα)

另外，点C3的坐标已由式(10)给出，因此，由杆长约束条件，建立位置约束方程

(18)

即可求解yAi(i=1,2,3)为

(19)

综上可知，当动平台1上O′点的坐标(x,y,z)已知时,静平台0上3个点Ai(i=1,2,3)移动位置yA1、yA2、yA3各有两组解。故逆解数为2×2×2=8，因此，该机构有8种构型。

2.5 位置正反解实例验算

2.5.1正解算例

设该并联机构结构参数为：a=350 mm，b=150 mm，d=50 mm，l1=30 mm，l2=280 mm，l3=140 mm，l4=180 mm，l5=90 mm，l6=230 mm。

设平行四边形①与②之间连接杆5的长度l7=0，四边形②与动平台1之间的连接杆8的长度l8=0。此时，机构的CAD三维模型如图4所示。

图4 3T机构三维模型

取静平台0上3个点Ai(i=1,2,3)的位置为yA1=154.677 4 mm，yA2=-193.670 7 mm，yA3=31.061 1 mm。

由Matlab计算该机构位置正解，如表1所示。

表1 机构的位置正解数值

2.5.2逆解算例

将表1中第3组正解数值代入式(19)，可得yAi(i=1,2,3)的8组逆解数值，如表2所示。

表2 机构的位置逆解数值

可见，表2中第3组的逆解数据和正解求解时给定的3个输入位置yAi(i=1,2,3)一致，从而验证了其正逆解的正确性。

3 并联机构奇异位形分析

3.1 奇异位形分析方法

采用Jacobian法分析该机构的奇异位形。对式(16)、(17)的两边同时对时间t求一阶导数，得

(20)

(21)

再将式(18)的两边对时间t求一阶导数，并将式(20)、(21)代入求导后的等式，得

(22)

其中

u11=yC1-yB1u22=yC2-yB2
u33=yC3-yB3f11=cotα(zC1-zB1)
f12=yC1-yB1f13=zC1-zB1
f21=cotα(zC2-zB2)f22=yC2-yB2
f23=zC2-zB2f31=cotβ(zC3-zB3)
f32=yC3-yB3f33=zC3-zB3

因此,该机构动平台末端执行器的输出速度v1和Ai(i=1,2,3)输入移动速度v2的关系为

Jpv1=Jqv2

(23)

其中

依据Jp、Jq是否奇异，将机构的奇异位形分为如下3类：①当det(Jq)=0时，机构发生输入奇异。②当det(Jp)=0时，机构发生输出奇异。③当det(Jq)=det(Jp)=0时，机构发生综合奇异。

3.2 奇异位形分析

3.2.1输入奇异

当机构发生输入奇异，意味着每条支链靠近驱动杆的两根杆处于折叠在一起或完全展开状态。这时，动平台自由度减少。此时det(Jq)=0，方程解的集合W为

W={W1∪W2∪W3}

(24)

其中

W1={yC1-yB1=0}(A1、B1、C1三点共线)
W2={yC2-yB2=0}(A2、B2、C2三点共线)
W3={yC3-yB3=0}(A3、B3、C3三点共线)

满足W3的三维构型如图5所示。

图5 输入奇异位形示例

3.2.2输出奇异

当机构发生输出奇异，意味着每条支链靠近动平台的杆处于折叠在一起或完全展开的状态，此时的动平台自由度数增多，即使锁住输入，动平台也可能存在自由度输出。设

[fi1fi2fi3]=ei(i=1,2,3)

若det(Jp)=0，则向量e1、e2、e3有如下两种情况：

(1)存在两个向量线性相关

若e1=ke2，即满足(f11,f12,f13)=k(f21,f22,f23),其三维构型为向量lB1C1、lB2C2在空间内平行，如图6所示。

图6 输出奇异位形示例

若e1=ke3，即满足(f11,f12,f13)=k(f31,f32,f33),此时有cotα(zC1-zB1)=kcotβ(zC3-zB3),zC1-zB1=k(zC3-zB3)。则有cotα=cotβ。

因本机构设定的杆长尺寸在机构运动过程中，恒有α≠β，即cotα≠cotβ；则e1≠ke3，同理可知e2≠ke3。

(2) 3个向量线性相关

设e2=k1e1+k2e3(k1k2≠0)，此时有

(f21,f22,f23)=k1(f11,f12,f13)+k2(f31,f32,f33)

通过Matlab计算表明，该种情况下k1、k2的解无法解出，因此，此种情况不存在。

3.2.3综合奇异

此时det(Jq)=det(Jp)=0，即输入奇异和输出奇异同时发生。在此位形下，机构的驱动关节和末端执行器都存在着瞬时互不影响的非零输入和输出，对应的位姿就是第3类奇异，处于该类奇异时，机构将失去自由度，在机构设计阶段应予以避免。

上述奇异位置的求得，对样机调试时的轨迹规划与运动控制，具有参考价值。

4 机构工作空间分析

并联机构的可达工作空间，是指在考虑运动副的转角范围、杆长不干涉的情况下，末端执行器的工作区域是衡量并联机构性能的一个重要指标。本文采用极限边界搜索法分析该并联机构的工作空间，即首先根据杆长来设定工作空间的搜索范围；然后，基于位置反解，搜索所有满足约束条件的点，由这些点组成的三维图即为该并联机构的工作空间。

确定空间三维搜索范围为：-135 mm≤x≤85 mm，-300 mm≤y≤300 mm，180 mm≤z≤480 mm,通过Matlab编程，得到该并联机构的三维工作空间，根据第①类奇异判别式det(Jq)=0可得到输入奇异轨迹，由第②类奇异判别式det(Jp)=0可得到输出奇异轨迹，如图7所示，其中，绿色部分为无奇异的工作空间，蓝色部分为输入奇异区域，红色部分为输出奇异区域，表明该工作空间内部存在较大的无奇异工作空间。

图7 工作空间及其奇异情况

本文所设定的杆长参数之一是：2a=2l2+l3，在这个设定条件下，若考虑3个驱动副的移动范围，即随着3个驱动副的同速度移动，则图7所示的机构工作空间相应地可沿Y方向延伸，具有与2PPPaR并联机构所述的倒置型长方形柱的工作空间[25]，适合于长度方向较大尺寸工件的机加工、喷涂、铆接等操作工艺。

图8为工作空间在XOY、XOZ和YOZ平面上的投影图。

图9为工作空间内Z方向上的4个X-Y截面图，表明：z≥300 mm时，随着z的增大，X轴方向上的移动距离逐渐减少，Y轴方向上的移动距离逐渐增加。

图8 工作空间在XOY、XOZ和YOZ平面上的投影

图9 工作空间内不同的X-Y截面图

5 速度与加速度分析

5.1 速度公式

当机构处于非奇异位置时，矩阵Jp可逆，由式(23)可得

(25)

式(25)即为动平台O′点的输出速度。

5.2 加速度公式

对式(23)的两边同时对时间t求一阶导数，得

(26)

其中

K=[K1K2K3]T

当机构处于非奇异位置时，矩阵Jp可逆，由式(26)可得

(27)

式(27)即为动平台O′点的输出加速度。

5.3 速度、加速度算例验算

取3个驱动副的输入移动运动规律分别为：yA1=154.677 4-50sint，yA2=-193.670 7-50sint，yA3=31.061 1+50sint。则其输入移动速度、加速度的变化规律分别为

将式(25)、(27)导入Matlab软件编程计算动平台O′点的速度与加速度，分别得到速度、加速度曲线；同时，将该并联机构的三维模型，通过SolidWords导入ADAMS软件中进行仿真，设置仿真时间为10 s，仿真步长为0.1 s，得到101个时间点3个方向的速度与加速度后，将其导入Matlab软件得速度与加速度如图10、11所示。

图10 动平台速度曲线

图11 动平台加速度曲线

对比图10和图11可以发现：① 运用Matlab对式(25)、(27)进行编程得到的速度与加速度曲线与运用ADAMS仿真得到的曲线完全吻合，从而验证了所推导的速度与加速度公式的正确性。② 在给定本文所设定的驱动副的输入运动规律情况下，该机构动平台的速度、加速度曲线变化连续平稳、无突变峰值，表明该机构具有较好的运动平稳性。

6 结论

(1)设计的三平移(3T)并联机构具有4个优点：仅由移动副和转动副组成，制造简单、安装方便；具有解析式位置正解，这对误差分析、尺度综合、刚度分析及动力学研究带来较大的方便；具有部分输入-输出运动解耦性，这对机构的轨迹规划及运动控制十分有利；具有大的操作工作空间，适合于长度方向较大尺寸工件的机加工、喷涂、铆接等操作工艺。

(2)该机构通过第1回路输出构件始终保持水平位置这一特殊的几何约束条件(该条件由约束度为负的第2回路提供)，直接求得整个机构位置正解解析解，这是本机构拓扑结构不同于其他机构的优点所在。

(3)基于位置反解，得到了该机构三类奇异位形发生的条件及其位置，给出了机构的工作空间大小及其奇异区域。

(4)机构速度与加速度仿真曲线变化较平稳、连续，具有较好的动态特性。