函数的“故事”

姜鸿雁

记得好几年前，我把“函数”这一课题写在黑板上，对同学们说：“今天起，我们开始学习函数啦！在学习之前，对这个“新朋友”，你有问题问老师吗？”有同学问：“它与我们前面学习的内容有关吗？如果有，有怎样的关系呢？我很想知道。”有人问：“什么叫函数呀？”……在众多问题中，一位同学的问题让我记忆犹新！他问：“老师，到底是谁起的这个‘怪怪的名字啊？”同学们，通过本章的学习，前面的问题都应该解决了。最后一个问题，你有没有像这位学长一样，有同样的疑惑？相信通过这篇文章的阅读，你一定能从另一个视角认识“函数”。

“函数”名字的由来

早在17世纪，德国数学家莱布尼茨就首次提出用“function，（函数）”表示x的幂，即x²、x³、x⁴……的值。后来，他还用‘function（函数）”这一词表示曲线上的横坐标、纵坐标等与曲线上的点的变量关系，这个词便逐渐流行开来。大物理学家、数学家牛顿曾用“流量”（与我们现在手机使用的“流量”不是一回事）表示两个變量之间的关系。

19世纪，英国数学家德摩根的权威著作《代数学》被英国传教士伟烈亚力带入我国。我国清代数学家李善兰在翻译这本书时，将“变量”译成“变数”，把“包含变数的表达式”译成了“函数”，所以“函”有“含”的意思。这个译名一直沿用至今。

函数发展小史

目前，提起函数，同学们可能容易联想到一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0），也就是首先想到函数解析式。这与古代数学家刚开始认识函数的历程是一样的。著名数学家欧拉曾经直接用“解析式”给函数下过定义。函数发展史上称这一段时期为“解析式说”定义时期。

18世纪中叶，还是欧拉，在《微分基础》这本著作里，更新了函数的定义，大致是这么描述的：如果某些量依赖另一些量，当后面这些量变化时，前面的量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。这个定义与我们课本上的定义比较接近了。为什么会有这样的变化呢？因为数学家们发现，在现实世界里，并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示的，比如一天中的气温随时间而变化的规律是用图像表示的;再如水库的水位随时间的变化规律是用表格来表示的……欧拉如此改进，将函数的发展由“解析式说”推进到“变量依赖关系说”。无论是他的“解析式”定义还是“依赖关系”定义，都对后世认识函数产生了深远的影响。

德国数学家狄利克雷在1837年提出另一个函数定义，大致是这么说的：两个变量x、y，在某一区间上，每一个确定的x值，y都有唯一一个确定的值与它对应，那么y叫x的函数。这与我们教材中关于函数定义的描述非常接近了，史上称之为“变量对应关系说”。它将函数的发展又向前推进了一步。例如，y=0，我们说它一定不是一次函数，但它是函数吗？我们可以这样理解：对于变量x，取任意一个值，y都有唯一的值0与它对应，用变量对应关系定义可以判断它是函数，我们称它为“常函数”。另外，数学家柯西首次提出“自变量”一词，也推动了函数的发展。

在数学世界里，同学们还有很长的探索之路要走。待到进入高中后，函数的定义会变化，你们将学习函数发展的更高阶段——“集合对应关系说”下的定义。至于“集合对应关系说”下的函数定义是怎么描述的，对函数的研究又提供了怎样广阔天地，进入高中学习阶段后自有分晓。这真是学无止境、学海无涯！

函数定义的发展是一部历史，倾注了几十代数学家们的思考与努力，为后人留下了灿烂的文化，也感召着后人为人类文明的发展奉献自己的智慧。回望函数发展的历史，其实“函数”这个词翻译自函数发展初级阶段，即“解析式说”时期的定义，它已经不能反映“function”的真正含义了。我们了解它、延用它，更要发展它，这既是铭记我国古代数学家李善兰为我国数学事业发展作出的贡献，也是在鞭策我们努力前行，为人类的数学文明的发展作出我们中国人应有的贡献！