一招割补法 制胜求面积

姚娟妹

数学世界浩瀚如海，代数几何变幻无穷。平面直角坐标系中求不规则图形的面积问题时常出现。求不规则图形的面积没有公式可直接运用，看似不可能解决，但是如果能把它变成可以计算出面积的规则图形，那么问题就迎刃而解。我们以平面直角坐标系中求三角形的面积为例，领略其中的奥妙。

一、直接利用三角形面积公式

例1 如图1，已知A（1，-1），B（1，3），C（-3，1），求△ABC的面积。

【点拨】如图2，该三角形有一条边AB∥y轴，AB的长度等于A、B两点的纵坐标差的绝对值，AB边上的高CD等于C、D两点的横坐标差的绝对值，再将AB、CD的长度代入三角形面积公式即可。当三角形有一边平行于坐标轴时，通常以这条平行于坐标轴的边作为三角形的底边，易于求解。

【解析】如图2，过点C作CD⊥AB于D，AB=4，CD=4，S_△ABC=1/2×AB×CD=1/2×4×4=8。

二、化“不规则”为“规则”

例2 如圖3，在平面直角坐标系中，已知A（0，-2），B（4，2），C（1，8），求△ABC的面积。

【点拨一】初看此题，△ABC为“不规则”图形，感觉无从下笔。仔细看图就会发现，我们只要过三角形的顶点作x轴或y轴的平行线，把三角形补成一个矩形，再用该矩形的面积减去其他3个“规则”三角形的面积，即可求解。这种方法我们称为“补形”。

【方法一】如图4，分别过A、C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，得到矩形ADEF，S_△ABC=S_矩形ADEF-S_△ABD-S_△BCE-S_△ACF=18。

【点拨二】当三角形的三边都不平行于坐标轴时，可以过三角形的某一顶点作z轴或者y轴的平行线，将三角形分割成两个三角形，再分别求这两个三角形的面积。这种方法称为“分割”。

【方法二】（有兴趣的同学可尝试）如图5，过B作BE∥x轴，交y轴于点E，交AC于点F;过C作CG_LBE于点G。CG=8-2=6，AE=2-（-2）=4。由A（0，-2），C（1，8），可以求得直线AC的解析式为y=10x-2，又由BE∥x轴，可得F点坐标为（2/5，2），所以BF=4-2/5=18/5，故：S_△ABC=S_△ABF+S△_BCF=1/2×BF×AE+1/2×BF×CG=18。

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求平面直角坐标系中三角形面积一般先确定三角形的顶点坐标，找准三角形的底和高。也可以将三角形补成一个规则图形，如矩形。或者将三角形分割成两个三角形，然后再求解。上述题目除了用割补法求解，还可以考虑用等积变换等方法来解，有兴趣的同学可以尝试一下。