平余式运算规则——从平面数到孙子共数的求解

张国平

(福建省南平市福州大学 353416)

在孙子算经中：“今有物不知共数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”.

那么，由题我们首先转换成数学思考则是：

假设其共数为y，则y=3x1+2；y=5x2+3；y=7x3+2；由于数之是次数，故x1，x2，x3为整数.

现将上述思考转换成‘平余式’表达式则为[3，2]；[5，3]；[7，2].则我们要寻求的就是关于平余式的运算规则，但在此，我只给出解题过程，而把平余式的运算规则附在后面.

寻找3N1与5N2+1的最小公倍数⟹6+2=8.

再由[15，8]与[7，2]运用平余式规则进行如下运算：

寻找15N1+6与7N2的最小公倍数⟹21+2=23.

即孙子共数 [3，2]；[5，3]；[7，2] 运用平余式规则求解的共数为[105，23]或是y=105x+23的整数值，所以，它的解不是一个数而是一类数.

附：平余式运算规则原始思考如下：

假设平余式[a1，k1]；[a2，k2](其中k1，k2，a1，a2∈Z且a1≠0，a2≠0，a1，a2不可约(互质)).

①若a1=a2，k1=k2(即k1=k2±a1).

则条件组合为复式，其本身就是类解.若a1=a2，k1≠k2(即k1≠k2±a1)则条件组无共数或共数为空.

所以：G=(TN+K1)+m(a1，a2)*N(跳跃数).

故而，当平余式(条件式)运算规则确立后，素数的递推式也就由此呈现，但里面并不是单一和纯粹的.

平余式运算法则：[a，b]相与y=ax+b的整数值

[a，b]= [a，b±a]；

[a，b]±m= [a，b±a] ±m=[a，b±a±m]= [a，b±m]

[a，b]*m= [a，b*m]; [a，b]n= [a，bn];

[a，b]±[a，c]= [a，b]±c= [a，b±c];

平余式运算的逆运算——共数的逆向求解

设平余式[a，b]，[c，d]，[e，f].

假若[a，b][c，d]=[e，f](a与c互质).

现已知：[c，d]，[e，f] (a，c互质)，求[a，b].

解由平余式公式知e=a*c⟹a=e÷c，a*N=f-b(0≤b