浅析函数最值在经济问题中的应用

吕淑君

（甘肃畜牧工程职业技术学院 甘肃武威 733006）

一、预备知识

（一）函数最大值

设x0是函数f(x)定义域区间I上的一点，对于任意的x∈I，恒有f(x0)≥f(x)成立，则称函数f(x)在点x0处达到最大值f(x0)，x0称为函数的最大值点。

（二）函数最小值

设x0是函数f(x)定义域区间I上的一点，对于任意的x∈I，恒有f(x0)≤f(x)，则称函数f(x)在点x0处达到最小值f(x0)，x0称为函数的最小值点。

二、函数最值在经济问题中的应用

优化是经济学的核心[3]。各种优化问题都受到了经营者和管理者的重视，如在一定的条件下，如何规划生产，才能达到利润最大、成本最小等问题[4]。下文用函数最值来解决经济优化方面的问题。

（一）最大值在经济问题中的应用

1.利润问题

例1 某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每涨价1元，每周少卖出10件；每降价1元，每周可以多销售20件以上。已知商品价格是40元/件，如何获得最大利润定价？

解析：如果每件商品的价格上涨或下跌x美元，利润是y美元，y1是价格上涨时的利润，y2是价格下跌时的利润。则：

y1=(60-40+x)(300-10x)

=-10(x2-10x-600)

=-10(x-5)2+6 250

当x=5时，即每件商品价格上涨5元，这时的价格为65元，利润为6 250元。

y2=(60-40-x)(300+20x)

=-20(x2-5x-300)

=-20(x-2.5)2+6 125

当x=2.5时，即每件商品价格下跌2.5元，这时的价格为57.5元，利润为6 125元。

综上所述，当价格为65元时，可以获得最大的利润。

2.税收问题

例3 设某种商品的需求函数为Q(P)=1 200-4P2。（其中，Q为需求量，单位为件，P为销售价格，单位为元。）当P为何值时，总收益最大？

解析：总收益函数R(P)=QP=1 200P-4P3(P＞0)，

令R′(P)=1 200-12P2=0，得P=10。

又∵对R(P)求二阶导数R″(P)=-12P，

可以推出R″(10)＜0。

∴当价格为10时，总收益可以达到最大值R(10)=8 000。

（二）极小值在经济问题中的应用

经济批量问题

例4 一家工厂生产某种产品，每年销售100万件。每批生产需要额外1 000元准备金。如果销售的平均年增长率和最后一批货物销售后立即生产下一批（一半的货物库存，每单位年费是0.05元），分为多少批次生产才能使采购成本和库存成本最小？

三、结束语

人们在日常生活中经常会遇到最大值和最小值问题。本文利用函数最值的求解，把现实问题转化为数学模型，然后对问题进行定量分析，从而体现函数最值在实际问题中的最优化。在经济问题中，从经营者和管理者的角度来看，如何使收益最大化、成本最小化，是一个值得深入研究的问题。