猜想验证：小学数学“成长型课堂”的制高点

董刚 林长龙

摘  要：猜想验证是小学数学“成长型课堂”中要求最高的探究方式，对学生的学习动机、学习能力、知识建构、思维能力有积极的促进作用。文章在近几年区域探索与实践的基础上，从猜想验证的定义、作用、能力发展指标和能力观察要点等四个方面做了较为详细的阐述。

关键词：猜想验证;能力发展指标;观察要点

编者按：自主探索是小学数学“成长型课堂”中重要的自主学习板块，主要包括尝试发现、举例归纳和猜想验证三种探究方式。猜想验证是对学生自主学习能力要求最高的一种探究方式，对提高小学生的学习动机、学习能力、知识建构和思维能力有着积极的促进作用。南京市江北新区的小学数学“成长型课堂”项目组在区教研员林长龙老师的带领下，对小学生在猜想验证活动中的行为表现进行了长期的观察与分析，在此基础上编制了《小学生猜想验证能力发展指标》，并通过实践不断探索培养小学生猜想验证能力的策略，取得了较为丰硕的成果。本期围绕“猜想验证能力”的专题，推出“成长型课堂”项目组成员的4篇论文和案例，以飨读者。

小学数学“成长型课堂”包括自主定向、自主探索和自主应向三大自主板块，自主探索又包括自主探究和展示交流两个部分。小学数学课堂的自主探究活动主要包括尝试发现、举例归纳、猜想验证等三种方式，猜想验证是其中最为完整的科学探究方式，需要在小学生具备一定的尝试发现和举例归纳能力之后才能适度开展。猜想验证能力是培养小学生自主探究能力的最高追求。

■一、猜想验证的定义

猜想验证是指学生在观察或处理数学信息时发现具有共性的问题，通过归纳、类比或想象提出数学猜想，选择运用合适的方法验证猜想并形成结论的探究学习活动。

■二、猜想验证的作用

开展猜想验证活动能有效促进学生的学习动机、学习能力、知识建构和思维能力的发展。首先，猜想验证活动能激发学生的好奇心，在猜想验证的过程中学生真切体验发现和思维的乐趣，通过自主探究感受自身的价值，从而有效增强学习的内在动机和自信心。其次，猜想验证是一种重要的学习策略，对学生今后的学习与发展起着重要作用，掌握猜想验证的过程与方法能有效提升学生的学习能力。第三，猜想验证能激发学生尽可能多地调用已有的知识经验，努力探索知识之间的联系，综合运用所学的数学知识发现和解决问题，有效促进了学生对知识的理解和知识体系的建构与完善。最后，猜想验证有助于培养学生的思维能力，其主要表现在想象与创造思维、逻辑思维和思维方式三个方面。想象是对表层发现进行联想的重要方式，是提出猜想所需的重要品质，大胆的想象与合理的推理相结合，往往能获得创造性的深层发现。从某种意义上来说，猜想就是想象与创造的过程。验证需要科学、合理和严密的思维，验证的过程就是学生运用逻辑思维进行思考与操作的过程，有利于提高学生的逻辑思维能力。猜想验证要求学习者掌握一般的研究方法，能够按照一定的流程进行观察、思考与实践，并在猜想验证过程中能够灵活把握研究的方向和进程，根据研究中所遇到的问题及时调整方法和方向，从而逐步掌握科学探究的思维方式。

■三、猜想验证能力发展指标

猜想验证能力发展指标是对学生开展猜想验证活动的行为表现水平的具体描述。为了便于观察与操作，根据猜想验证活动的一般过程，指标从提出问题、合理猜想、设法验证、得出结论和回顾反思等五个维度来描述小学生的猜想验证能力，并将每个维度划分成三个层级来区分小学生不同的发展水平。具体内容见表1。

■四、猜想验证能力的观察要点

猜想验证能力是一种高度综合的能力，每个维度的能力也都是一些具体能力的综合体现。在实际应用小学生猜想验证能力发展指标来指导教学时，我们不太可能面面俱到地加以关注，但可以抓住每个维度的要点进行观察与分析。教师在实际教学中通过对这些要点的观察与分析，可以较为准确、快捷地了解学生猜想验证能力的发展情况，进而及时采取有针对性的指导策略。

1. 提出问题维度的观察要点：问题意识

提出问题维度的观察要点是学生的问题意识，具体包括发现意识、追问意识和联系意识，它们具有递进关系。发现意识是指学生在对数学事实进行观察和操作的时候，能够有意识地寻找其中具有某种特性的现象，这是发现问题的基础。追问意识是指学生在有所发现之后能够有意识地思考“为什么会这样”“什么情况下才会这样”“这种现象能说明什么，有什么价值”等问题，这是提出问题的基础，有利于激发学生参与探究的动机。联系意识是指学生能在产生问题后有意识地进一步思考“出现这种现象可能与哪些因素有关”，从而提出指向明确的问题，有利于探究活动有针对性地顺利开展和比较具体的数学猜想的形成。意识引导思维和行为，具备不同意识的学生所提问题的深度有所不同。

2. 合理猜想维度的观察要点：分析视角

合理猜想维度的观察要点是学生分析数据的视角，具体包括情境视角、关系视角和全局视角，它们具有递进关系。情境视角是指学生分析时思考的范围局限在具体的事物和数量上，缺乏必要的抽象。关系视角是指学生分析时聚焦于对问题中所提及的变量之间关系的抽象概括，忽视其他可能的影响因素。全局视角是指学生在关注变量之间的关系的同时能够从全局的角度进行审视，留意是否存在其他的影响因素。数学猜想实质上就是通过对某些材料中的数据进行分析从而明确其中可能蕴含的规律或结论的过程，分析的视角对猜想的抽象程度和准确性有较大的影响。

3. 设法验证维度的观察要点：方法选择

设法验证维度的观察要点是学生对验证方法的选择，具体包括跟随指导、遵循经验、尝试创新，分别代表学生自主验证能力发展的三个阶段。学生在刚开始进行猜想验证活动时，并不清楚发现猜想与验证猜想之间的区别，不知道该怎样做才算是验证，因此需要教师的具体指导，获得关于验证的基本认识与经验。学生在开展猜想验证活动的过程中初步积累了以举例验证为主的验证经验，能够遵循已有经验自主开展新的验证活动。学生通过多次的猜想验证活动逐步丰富了对验证方法的理解和适用范围的感知，获得了验证方法的条件性知识，从而逐步具备了根据学习内容的特点自主选择和创新验证方法的能力，能在自主实践中比较灵活地、创造性地进行验证。学生自主验证能力的发展是一个长期的过程，三个阶段之间还有过渡阶段，教师需要通过仔细观察与分析才能更为有效地进行引导。

4. 得出结论维度的观察要点：判断过程

得出結论维度对学生的观察要点是对验证结果做出判断的过程，具体包括确认猜想、形成结论和数学表达，反映了学生在得出结论时思维逐步深入的过程。学生在完成验证活动之后，首先要根据验证的情况，有理由、有依据地对猜想是否正确进行确认;然后在确认猜想的基础上进一步思考最后的结论应该是什么，并准确地进行描述;最后从数学的角度出发，思考怎样用数学的形式简洁而准确地表达结论。学生在进行充分的猜想和验证环节之后通过观察、比较、讨论得出结论，是对自己的体会感悟和发现做出逻辑整理和总结归纳的过程，学生要把自己头脑中的思路和想法梳理清晰，在加以组织、加工之后用简练的语言表达出来，这有利于提高和发展学生思维的条理性和逻辑性，促进学生的认知从直观到抽象、从特殊到一般持续发展。

5. 回顾反思维度的观察要点：反思程度

回顾反思维度对学生的观察要点是学生对自己的变化或得失的反思程度，包括描述过程、分析原因和自我提升三个层级。描述过程重在对当时自己的想法和做法的回顾，分析原因是对想法和做法来源的解释，自我提升则是思考这一过程带来的新想法和新认识。回顾反思是一个开放的环节，引导学生从内容理解、方法应用和行为表现等方面进行自我反思。学生的反思点可以有很多，不同的学生，其反思点的差异也很大，支持学生自主反思需要充分尊重这些差异。因此，在反思内容方面以“变化”和“得失”两个较大的概念来界定范围，具体的反思点则通过实践让学生逐步积累与丰富。教师的观察应聚焦于学生对某一点的反思程度，引导学生学会深刻地反思。回顾反思也许是整个猜想验证活动中最重要的阶段了，是学好数学和学会学习的法宝和诀窍之一，理应得到教师和学生的高度重视。

猜想验证活动为学生提供了更多的观察发现、自主探索、反思批判的时间与空间，能够让学生充分经历观察、发现、猜想、验证、归纳、反思等学习过程。但是，要想使教学的内容目标与过程目标都得以较好的实现，需要教师在设计问题情境时兼顾内容的指向性与思维的开放性，在猜想验证时兼顾学生的自主性和教师的指导性，在评价反思时兼顾学生的个性思考与共同发展，充分发挥教师的支持与指导作用，使猜想验证活动更为有效地开展。