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经历建模过程 感悟模型思想

2020-03-02郑圣发

辽宁教育 2020年11期
关键词:植树数学模型一棵树

郑圣发

(福建省福州市鼓楼区教师进修学校)

基于小学生的认知规律和《义务教育数学课程标准(2011年版)》的要求,小学的数学建模活动应从实际生活原型或现实背景出发,引导学生抽象出数学问题,经历观察、操作、比较、分析、概括等思维活动,尝试用代数式、关系式等数学语言和数学符号表征数学模型,再运用数学模型解释和解决相应的实际问题,初步形成模型思想,帮助学生体会和理解数学与外部世界的联系,提高他们学习数学的兴趣和应用意识。

一、激活生活经验,整体感知数学模型

教学要选取学生熟悉的生活素材,创设具有现实背景的数学情境,激活学生已有的生活经验和活动经验,引导学生抽象形成数学问题,多维度驱动数学思考,促进学生整体感知数学模型,为后续数学建模搭建拾级而上的阶梯。如在教学“植树问题”这节课时,有如下片断——

师:知道这节课我们要研究什么吗?

生:植树问题。

师:看到这个课题你想到了什么?植树问题是不是植树的问题?认为植树问题就是植树的问题的请举手,认为植树问题不是植树的问题的请举手,还有两次都没举手的同学,是不是不太确定?

师:到底植树问题是不是植树的问题呢?随着我们的探究,相信同学们会有更全面、更深刻的认识。

开门见山,直奔主题的教学导入,看似简单实则富有辩证意味的“植树问题是不是植树的问题”的问题,引发了学生的思辨活动。不仅把学生的注意力快速聚焦到了学习活动中,还营造了轻松愉悦的课堂氛围,让学生自由表达对“植树问题”的理解,培养了学生的思辨能力。

师:学校为了美化校园,向全校师生发出了一个方案征集启事,我们来看一看。

方案征集启事

学校为了美化校园,决定对校园东侧进一步绿化,诚邀同学们设计植树方案(要求附后),择优采用。

××学校后勤处

××年×月×日

要求:请在校园东侧全长300米的小路一边,每隔5米种一棵柳树,设计一份植树方案。

师:从这份要求上,你能获得哪些数学信息?

生:小路的全长300米,在路的一边植树,每隔5米种一棵。

师:每隔5米种一棵什么意思呢?请用你喜欢的方法说明你的理解。

师:你准备如何设计植树的方案呢?先独立思考,想一想、画一画,再跟你小组的同学议一议,看看能否设计出不同的方案。

师:请小组派出代表展示设计方案。

方案1:两端都种;方案2:头种尾不种;

方案3:尾种头不种;方案4:两端都不种。

师:比较上面的四个方案,你还有什么补充的?

生:头种尾不种和尾种头不种,可以看作只种一端。

基于现实背景的方案征集活动,唤醒了学生的生活经验,让学生直面数学挑战,思考方案中可能有几种情形,每种情形如何表征,这些情形可以分为几种不同类型等。有的学生想到一种,有的想到两种或更多,在小组讨论和集体评议中形成了两端都种、只种一端、两端都不种三种不同情形的共识。让学生自主根据问题可能的类型分门别类地思考并解决了问题,从整体入手,结构化感知植树问题的数学模型,为后续数学建模夯实基础。

二、聚焦“种子”模型,数形结合初建模型

如果把棵数看作点的个数,间隔数看作线段的条数,植树问题的三种不同情形,本质上都可以抽象成“点与段”的对应关系:只种一端时,点与段一一对应;两端都种时点比段多1;两端都不种时点比段少1。一一对应思想学生在之前的学习中已有多次的感悟,只种一端的情形,点与段正好一一对应,无疑为“种子”模型,抓住主干,着力构建。如在教学“植树问题”这节课时,有如下片断——

师:这三种方案分别要准备多少棵树苗呢?我们先重点研究只种一端的情形。

师:全长300米的小路一边,按照每隔5米种一棵柳树,只种一端,一共要多少棵树苗?大胆地猜一猜。

生:60棵,61棵,62棵,59棵。

师:有不同的猜测,说明有不同的理解,那么到底是多少棵呢?可以用什么方法来验证?

生:画图,我们用一条线段表示300米的小路,每隔5米栽一棵,每隔5米栽一棵,照这样一棵一棵栽下去,很麻烦。

师:那怎么办呢?

生:从300米中选择一小段来研究,看看有没有规律。

师:是的,从简单情形入手寻找规律来解决问题,就把一个复杂的问题变得简单了。请自由选择一小段进行研究吧。

师:观察比较我们研究出的结果,你有什么发现?

生:虽然小路的长度不一样,种树的棵数也不相同,但是每次种数的棵树和间隔数相同。

师:通过这些数据能确定得出的结论是正确的吗?是不是要举出更多的例子?你能解释为什么棵数刚好等于间隔数吗?

生:不用举更多的例子也能说明只种一端时棵数和间隔数肯定相等。请看这个图,一棵树一个间隔,一棵树一个间隔,如此下去,刚好一一对应,最后还是一棵树一个间隔,所以只种一端时,棵数和间隔数是相等的。

师:一棵树对应一个间隔,像这样数的方法在数学上叫作一一对应。你们能用“一一对应”的方法向你的同桌说一说吗?

师:我们用一一对应的方法数出30米的小路一共栽了6棵树。你能用算式把想法表示出来吗?

生:30÷5=6(棵),30米长的小路,每5米种一棵,一共有6个间隔,只种一端,一个间隔对应一棵树,6个间隔就是种6棵树。

师:结合线段图想一想,在只种一端的情况下,棵数与间隔数之间有什么关系?

生:在只种一端的情况下,棵数等于间隔数。

以“只种一端”作为切入点,避免了“棵数”与“间隔数”不一致的干扰,学生的思维自然聚焦到“点与段”之间的对应关系上,这样就顺应了学生已有的思维经验,使他们借助数形结合建立起了“棵数=间隔数”的数学模型。

三、应用数学推理,类推完善数学模型

数学思维的本质是推理,推理应贯彻于教学的始终。可以利用“种子”模型的生长力,类推出另外两个模型,以完善数学模型的构建,培养学生举一反三、触类旁通的能力。如在教学“植树问题”这节课时,有如下片断——

师:通过前面的研究,我们知道了只栽一端时棵数和间隔数之间的关系可以用关系式“棵数=间隔数”表示。想一想,另外的两种情况,棵数和间隔数之间有什么关系呢?

生:两端都种,棵数=间隔数+1;两端都不种,棵数=间隔数-1。

师:能说说你是怎么想的吗?

生:两端都种时,一棵树对应一个间隔,如此下去,最后一棵树没有间隔可以对应了,这样就多了一棵树。所以两端都种,棵树=间隔数+1。

生:两端都不种时,一个间隔对应一棵树,如此下去,最后一个间隔没有树可以对应了,这样就多了一个间隔。所以两端都不种,棵数=间隔数-1。

以只种一端“棵数=间隔数”为“种子”模型,引导学生类推构建两端都种,棵数比间隔数多1,两端都不种,棵数比间隔数少1,自然地生长出了“棵数=间隔数+1”和“棵数=间隔数-1”两种模型。这样就从整体架构入手,打破了教材分散安排的三种模型逐一学习的形式,以结构化的思想建构了植树模型,有利于学生更深刻地理解植树问题的本质。

四、回归实际生活,解释应用数学模型

建立数学模型不是最终目的,学会解释、应用模型才是真正目的。因此,教学中要重视设计与相应模型同构的问题情境,让学生尝试应用模型分析和解决实际生活问题,以促进同一类数学问题之间的模型融通。如在教学“植树问题”这节课时,我先出示了两道例题:

1.学校两座教学楼之间的距离是40米,如果每隔5米种一棵树,一共要种多少棵树?

2.马拉松比赛全程约42千米,平均每3千米设置一处饮水点(起点不设,终点设)。全程一共有多少处这样的服务点?

接下来的教学中,有如下片段——

师:第2题还是植树的问题吗?怎么解决?

生:可以看作植树问题,用两端都不种的植树问题关系式就能解答。

师:请问你眼中的树是指什么?

生:饮水点可以看作树,两个饮水点之间是一个间隔。

师:今天学的是“植树问题”,做完这道题,你有什么发现?

生:我感觉植树问题不一定只和植树有关。

师:看来,植树问题并不只是植树的问题,生活中还有很多问题和植树问题相似,请大家找找下面图片中的“树”分别在哪里?

(课件逐一呈现:卢沟桥的狮子,地铁运营停靠路线图,男生衬衣的纽扣,一条打了结的绳子。)

生:桥上的狮子可以看作“树”;地铁站可以看作“树”;衬衣的纽扣可以看作“树”;绳子上的结可以看作“树”。

师:你们都有一双慧眼,现在请听播放闹钟敲钟的声音,你还能找到“树”吗?

生:每一个钟声都可以看作“树”。

然后,我又出示了第三道例题:

3.植树节到了,学校计划组织五年级4个班的同学参加植树活动,每个班分到50棵树苗,买树苗共用了5000元,请问每棵树苗多少元?

师:做完这道题,你又有什么发现?

生:这道题其实不是今天学的植树问题,虽然跟植树有关,但数量关系不同。

师:看来有关植树的问题不一定就是植树问题。

通过设置富有启发性的数学问题,检验学生对植树问题数学模型的理解和感悟。第1题是植树模型在实际生活中的直接应用,起到了巩固新知的作用;第2题虽然没有讲植树,但与植树问题有着内在的联系,可以抽象成点与段之间的一一对应关系,建立“点与段”的数学模型,培养学生的变通能力。通过生动的画面重现,从真实的树到虚拟的树,从看得见的树到看不见的树,把植树问题拓展到相应的一类问题,让学生深刻领会“植树问题不只是植树的问题”,培养了学生透过现象揭示本质的洞察能力,使他们体会到了模型思想的应用价值。第3题,意在让学生体会“并非有关植树的问题都是植树问题”,注重引导学生感悟并判断:数学问题的模型,不是看内容情境,而是看数量关系的本质。

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