欧美理论力学教材中的运动学

2020-03-02陈立群

力学与实践 2020年6期

陈立群

(哈尔滨工业大学(深圳)理学院力学系，广东深圳518055)

理论力学是高校机械、土木、航空、航天等工程专业的重要基础课。我国称为理论力学的课程，在北美被称为工程力学。该门课程在俄罗斯和部分东欧国家仍称为理论力学或一般力学，而在西欧两种叫法都有，但工程力学的叫法越来越普遍。即使由白俄罗斯高校举办的国际性理论力学竞赛，也称为国际工程力学竞赛。北美工程力学教材包括静力学和动力学两大部分。在动力学(dynamics)中，运动学(kinematics)和动理学(kinetics)交替而非依次展开，分别对应着国内理论力学教材中的运动学和动力学。由于国内的绝大多数教材都把运动学作为相对独立部分，本文专门讨论欧美理论力学教材中对运动学内容的处理。

教学体系的形成通常有漫长的演化过程。现在仍大体上沿用的工程力学教学体系，是铁摩辛柯在美国开创，逐渐影响英国和欧洲大陆的。本文先通过简述10部法国、英国、德国、俄国、美国著名学者所写教材的相关部分，展示工程力学传统形成之前对运动学的处理。然后以7部典型美国教材、2部德国教材和1部俄国教材为例，说明欧美教材中运动学的内容与体系，并具体分析这些外国教材可供参考和借鉴之处。

1 早期理论力学教材中的运动学

虽然一些具体的运动学问题早有研究，但运动学作为独立学科却创立得很晚。1834年，物理学家安培(Andr´e-Marie Amp`ere，1775-1836)发表科学哲学论文，讨论了学科分类；他提议将“运动学”(法文cin´ematique)作为力学的独立部分，只关注运动特性而不考虑产生运动的原因。1835年科里奥利(Gustave Gaspard Coriolis，1792-1843)在分析转动坐标系的附加动力学效应时，蕴涵着运动学中的加速度合成定理。至此运动学的理论臻于完善。运动学随后的发展主要是在机器和机构中的应用。1841年出版的威利斯(Robert Willis，1800-1875)的著作《机构原理》(Principles of Mechanism)建立了机构运动学的的基础。运动学在1875年出版的勒洛(Franz Reuleaux，1829-1905)的著作《理论运动学》(Theoretische Kinematik)中得到进一步的发展。至此运动学基本发展成为力学的完整分支学科。

早期的理论力学教材全貌需要力学史专家进行发掘才有可能再现，笔者无意在此进行这项工作。本文重点以武际可先生列举的力学名著[1]的作者为线索，考察出自他们之手的足以代表当时最高水准的6部理论力学教材。由于名著涉及的德国和美国作者较少，因此增加了3种德文教材和标志美国工程力学教学传统形成的2部教材。这样，法、英、俄、德、美5国的教材大致反映了早期理论力学教材的全貌。

在安培提议之前，教材中都只有静力学和动力学两部分。影响很大的早期教材是泊松(Simeon-Denis Poisson，1781-1840)撰写的《力学教程》(Trait´e de M´ecanique，1811年第一版，1833年第二版)[2]。该书是100篇重要文献之一，其中静力学和动力学单独成篇，运动学只涉及点的运动，是动力学的一部分。

目前运动学作为一个独立教学部分最早的记录，是在1836年至1839年间，彭赛列(Jean-Victor Poncelet，1788-1867)在巴黎综合工科学校讲授力学[3]。笔者所见最早的运动学为力学独立部分是1888年出版的汤姆逊(Sir William Thomson，1824-1907)和台特(Peter Guthrie Tait，1831-1901)的专著《自然哲学专论》[4]。该书是100篇重要文献之一，其中第一章为运动学，包括点的运动和刚体运动。但该书是专著而不是教材，1872年两位作者也出版了力学教材《自然哲学基础》[5]。该书第一章为运动学，只叙述点的运动。对点的曲线运动引入了速度和加速度的概念，并分析了匀加速运动；也引入了角速度和角加速度的概念，但没有采用刚体模型，而是用动点与固定点连线的方式；用几何的方法讨论了简谐运动及其叠加；具体讨论了旋轮线等多种动点轨迹；最后通过例子解释了自由度和约束的概念。值得一提的是，该书作者认为力学(mechanics)是误用，应该叫动力学(dynamics)。按牛顿的本意，力学是关于机器的科学及其制造的艺术(the science of machines，and the art of making them)。而现在所称的动力学为动理学(kinetics)。这种说法对英美的教材有一定影响。

1893年开始出版阿培尔(Paul Appell，1855-1930)的多卷专著《理性力学专论》，该书对力学教学也有广泛深远的影响[6]，是100篇重要文献之一，1953年为第6版[7]。通常认为前两卷是理论力学教材。其中运动学单独列为一章，但只包括点的运动。刚体运动仍然穿插在动力学相关部分之前。运动学部分除了点的运动外，用几何方法建立了一般的速度合成定理，用解析方法建立了加速度合成定理，分别引入了牵连速度(vitesse d’entrainment，57页)和牵连加速度(acc´el´eration d’entrainment，72页)的概念，这也是目前国内教材仍使用的牵连速度和牵连加速度下标e的由来。该书前两卷在1911年就有俄文译本，刘延柱教授曾将该书1960年的俄文重译本赠送笔者。

1897年，100篇重要文献之一的《弹性的数学理论专论》(A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity)作者乐甫(Augustus Edward Hough Love，1863-1940)出版了教材《理论力学：有应用和许多例子的动力学引论》，1921年出版第3版[8]。该书开篇的运动学讲点的运动，包括相对运动的速度和加速度合成。在刚体平面运动部分，在动力学分析之前先讲了运动学，包括用基点法计算速度和加速度，也提到瞬心法。在讨论刚体系统运动时，简介了转动系的运动合成，但只限于平面的情形。

1912年，哈默(Georg Karl Wilhelm Hamel，1877-1954)出版了教材《力学基础》，1965年重印[9]。该书内容丰富，有660余页，分成基础、静力学和一般力学三部分。基础部分第一章为运动学，有速度和加速度等基本概念，也涉及质量等动力学基本概念。一般力学包括运动学和动力学，有平面运动的速度和加速度分析，还讨论了矢量的绝对变化和相对变化。

1912年和1914年，100篇重要文献之一的《水动力学》(Hydrodynamics)作者兰姆(Horace Lamb，1849-1934)分别出版了教材《静力学》[10]和《动力学》[11]。《静力学》包括刚体平面运动的基础知识，用定轴转动表示刚体运动，引入瞬心概念。在静力学部分讲运动学内容，是少见的安排。《动力学》有点的直线运动和平面曲线运动，平面曲线运动中用矢量表示了两点的相对速度，还推导了切向和法向加速度。平面运动主要讲动力学，运动学只是提到刚体平面运动可以分解为彼此独立移动和转动。

茹科夫斯基(НиколайЕгорович Жуковcкий，1847-1921)建立二维机翼升力理论的论文是100篇重要文献之一。他不仅被誉为“俄罗斯航空之父”，也是俄罗斯力学教育的开拓者。茹科夫斯基1886年至1920年在莫斯科大学讲理论力学的讲义被整理出版为《理论力学》，该书1952年第二版有汉译本[12]。运动学独立成篇，为全书第一篇，包括点的运动、合成运动、不变体系(刚体)运动、刚体运动合成、解析方法在刚体运动中应用。其中刚体运动包括平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般运动。这个教学体系基本上就是对中国有很大影响的苏联理论力学教学体系。只是茹科夫斯基更强调几何方法，最后一章才是解析方法的应用，包括一般情形的加速度合成定理的证明。需要指出的是，虽然20世纪50年代大量翻译俄文理论力学教材并在此基础上形成我国的理论力学教学传统，但对俄罗斯早期理论力学教材知之不多。在19世纪70年代已有俄文理论力学教材并译成德文，第一卷为运动学，第二卷为静力学和动力学。100篇重要文献之一的《运动的一般稳定性》作者李雅普诺夫(АлекcндрМихлович Ляпунв，1857-1981)在1885年至1890年期间的讲稿在1982年整理出版为《理论力学讲义》。

物理学大师普朗克的理论物理导论系列的第一卷为《一般力学引论》[13]，是非常简明的理论力学教材，只有220余页。全书分为质点和质点系两部分，后者包括刚体的静力学和动力学，但没有运动学。运动学只有点的运动，也讨论了相对运动。动点在定系的坐标由动系坐标轴的方向余弦和动点在动系坐标确定，直接计算一阶导数和二阶导数，就得到绝对和相对速度、加速度之间关系。

1935年，尼尔森(Jakob Nielsen)出版教材《基础力学讲义》，1983年重印[14]。该书分为两部分，第一部分是静力学和运动学，第二部分是动力学。运动学包括速度和加速度、刚体运动和相对运动三章。后两章之间插入约束和虚功原理两章，所以运动学与静力学穿插进行。刚体运动包括定轴转动和平移，也有平面运动的特例。相对运动部分较为深入，推导了不同坐标系矢量导数的关系。在一般情形下证明了速度合成定理和加速度合成定理。在矢量计算推导的基础上，引入了牵连(f¨uhrungs，接近于英文transport)速度和加速度，这是德文教材中普遍采用的词语。

1937年，铁摩辛柯(Stephen Prokofievitch Timoshenko，1878-1972)和杨(Donovan Harold Young，1904-1980)的《工程力学：动力学》出版，该书对美国工程力学教材体系的形成有重要影响，其最新版本是1956年的第四版[15]，随后也多次重印。该书按照直线和曲线运动、刚体定轴转动和平面运动以及相对运动次序展开，每部分先运动学后动力学。运动学的处理突出解析方法。平面运动的速度关系和加速度关系都是用坐标关系求导建立，然后写成矢量形式。速度和加速度合成定理都限于动系平面运动的情形，也是由坐标关系求导建立。然后把坐标表达式写为矢量形式，分析各个矢量的物理意义。在相对运动分析中引入了牵连速度和加速度的概念，分别称为基础(base)速度和加速度。

1948年，邓哈托(Jacob Pieter Den Hartog，1901-1989)的《力学》出版，1961年再版[16]。该书或多或少体现了铁摩辛柯之前美国理论力学教学的风格，强调几何分析，重视具体机构的研究。该书点的运动、刚体平面运动、相对运动穿插在相应的动力学之前。刚体平面运动分析基于转动和移动的分解，处理加速度关系时非常繁琐。相对运动用矢量讨论建立速度合成定理和动系平动时的加速度合成定理，动系转动时只讨论特例。该书把牵连速度和加速度称为载运(vehicle)速度和加速度。

从上述名家教材的览要可知，经过百余年发展，运动学在理论力学或工程力学中的内容已经与现在基本一致。主要内容是点的运动、刚体平移、定轴转动和平面运动以及点的复合运动。处理方式有与动力学穿插和运动学独立成篇两种，也有比较罕见的运动学与静力学交替展开，前两种方式分别被北美和苏俄、中国沿用发展。

2 当代欧美教材运动学主要内容

作为众多工程专业的技术基础课，“工程力学”有人数众多的学生修习。动力学的教材不完全统计也有百余种之多。本文参照分析静力学教材时的考虑[17]，美国教材选择7种。其中有3部多次重版而被广泛采用的教材，初版于1951年的梅里亚姆(James L.Meriam，1917-2000)和克雷格(L.Glenn Kraige)的《工程力学：动力学》第8版[18]，初版于1962年的比尔(Ferdinand P.Beer，1915-2003)和约翰斯顿(E Russell Johnston Jr.，1925-2010)《工程师的矢量力学：动力学》第11版[19]，初版于1974年的希伯勒(Russell C.Hibbeler)《工程力学：静力学》第14版[20]。有两部出版较晚但也有再版并在国内有汉译本或者影印本的教材，初版于1977年的金斯伯格(Jerry H.Ginsberg)和杰里(Joseph Genin，1921-2013)《动力学》的第2版[21](该书由金斯伯格教授赠送笔者)，初版于1999年的皮特尔(Andrew Pytel)和基乌萨拉斯(Jaan Kiusalaas)《工程力学：动力学》第4版[22]。还有两种特色突出的教材，初版于1999年的苏塔斯-里特尔(Robert W.Soutas-Little)和英曼(Daniel J.Inman)《工程力学：静力学》[23]，1994年首次上网公开的鲁纳(Andy Ruina)和鲁德拉(Rudra Pratap)《静力学与动力学导论》的2015年网络公开版[24]。欧洲教材选德国教材两种，俄国教材一种。德文教材为初版于1973年的马格努斯(Kurt Magnus，1912-2003)和马勒-斯莱尼(Hans Heinrich M¨uller-Slany)的《工程力学基础》第7版[25]，以及初版于1990年格楼斯(Dietmar Gross)等的《工程力学3：动力学》英文版[26]，基本上对应德文版第11版，德文版是广泛被采用的教材。该书合作者的5位教授，前四位分别是德国达姆施塔特工业大学、杜伊斯堡-埃森大学教授，第五位是美国加州大学伯克利分校教授，因此该书是德国美国教授合作的产物。俄文教材是初版于1990年的马尔契夫(АнатолийПавловичМакив，1942-)《理论力学》第3版汉译本[27]。这些教材，大体上可以代表当代欧美教材。

总体上，美国教材[18-24]包括美国教授参与的德国教材[26]，运动学都不是单独成篇，而是与动力学穿插展开。这些教材的运动学教学内容展开次序基本相同[18-20，22-23，26]，包括点的运动、刚体(平面和空间)运动和相对运动，有些运动学各部分在相应的点、平面运动刚体、空间运动刚体和相对运动的动力学之前[18，20，22]，其他的刚体的平面和空间运动在同一章[19，23，26]。也有教材[21]不讲刚体空间运动学，只是在相对运动中稍微涉及，但讲了空间运动刚体的动力学。个别教材把刚体的空间运动留给后续课程[24]，在点的运动知识之后，先讲刚体平面运动，随后专章阐述应用时变基矢量的运动学，包括极坐标和自然轴系，旋转坐标系，平面机构运动学等。德国教材[25]和俄国教材[27]中运动学集中在一章或者一部分，按照点的运动、刚体运动和复合运动顺序展开。为便于国内同行教学时参考，以下按照国内教材的知识模块总结，包括点的运动，刚体平面运动、刚体空间运动和复合运动。

点的运动部分，所有教材[18-27]都以单点运动为主，也涉及点系的运动。就具体内容而言，美国教材[18-24]和德国教材[26]专门讲直线运动，侧重微积分的应用。曲线运动包括运动的矢量描述[18-27]及其在不同坐标系中的投影，坐标系包括直角坐标[18-27]、极坐标[18-27]、自然轴系[18-27]、柱坐标[18-24，26-27]和球坐标[18-24，27]。自然轴系主要讨论平面情形[18-27]，也简要介绍空间推广[19-22，24-27]，个别教材对空间情形的处理比较详细，而且系统地阐述了弧坐标的应用[23]。点系的运动包括相对于平动坐标系中的运动而引入相对速度的概念[18-23]，以及以缆绳和滑轮系统为例说明受约束点系[18-22，24]，也有较为一般的自由度讨论[23，25，27]。就内容安排而言，多数先讲点的直线运动，再讲曲线运动[18-20，24，27]，个别教材还区分平面和空间的曲线运动[18，27]；有些是直接讲点的空间运动[21]；还有些是运动学与动力学高度整合，分别按照直角坐标或曲线坐标描述的运动学和动力学[22]；或者分别按照直线上或曲线上点的运动学和动力学展开[24]。

刚体平面运动是美国教材[18-24]的独立部分，在欧洲教材[25-27]中作为刚体空间运动的特例。美国教材[18-24]的刚体平面运动包括平面平动、定轴转动和一般平面运动，以后者为重点。平动通常只是提及概念[18，20-22]。定轴转动有角速度和角加速度的定义和矢量表示，以及矢量和投影形式的速度和加速度分布[18，20-22]。有些教材直接研究空间的平动和定轴转动[19，23]。一般平面运动部分包括直接求导数的方法计算速度加速度[18-20，22-24]、基点法速度公式[18-24]、瞬心的概念和确定[18-24]以及瞬心的本体和空间轨迹[18，21]、基点法加速度公式[18-24]。直接计算导数的方法在教材中名称不同，如绝对运动分析[18，20]、带参数的平面运动分析[19，23]、约束方法[22]和瞬时运动学[24]。有些教材还简要介绍了刚体系的运动学[23]，详细地分析了滚动和滑动相关的运动学问题并包括非完整约束等高级课题[24]。

作为初级力学课程，美国刚体空间运动讲得都比较简略，但处理方式不尽相同。有些教材从空间平动[18-19，23]和空间定轴转动[18-19，23]开始，然后是定点运动的有限转动[18，20]、瞬时轴及其空间锥面和本体锥面[18-20]、刚体上点的速度和加速度[18-20]和角速度合成[19]，最后是一般空间运动刚体上点的速度和加速度关系[18-20]。也有直接讲刚体的一般空间运动，从刚体上两点相对速度和加速度分析入手，得到这两点绝对速度的关系[22-23]；简介瞬时轴及其空间和本体锥面[22]；讨论了空间运动刚体受到的约束，将刚体定点运动作为一种受约束运动，较详细地讨论瞬时轴并应用于解题[23]。也有作者认为工程力学这种初等课程中不必讲刚体空间运动[24]。德国教材[25]从刚体一般运动为平移和转动的合成为出发点，着重讨论平面运动和定点运动两种特殊情形，并引入欧拉角描述刚体空间运动。德国教材[26]直接讲空间运动，按平动、定轴转动和一般运动展开，但在讲一般运动时先分析平面的情形也提到空间运动，特别突出了用瞬时转动轴的分析方法。俄国教材[27]以高度浓缩的方式完整呈现刚体空间运动的基本内容，把平移和转动的合成抽象为矢量-矩阵描述，引入了欧拉角，证明了定点运动可以用定轴运动实现，引入角速度矢量构建了刚体上不同点的速度和加速度关系，讨论了定轴转动、定点运动和平面运动的特例，最后说明了两种运动学不变量。

复合运动的内容在美国教材中穿插在点的运动和刚体运动中，前者其实是动系平动的情形，后者就是动系有转动的情形。动系平动时的相对速度和相对加速度分析，多数美国教材[18-21，23]在点的运动部分处理，也有教材[22]在质点系统动力学部分讲，还有教材[24]只限于直线运动的情形。动系有转动的相对运动在所有美国教材中都有涉及。多数教材在刚体平面运动部分阐述，包括动坐标系中矢量求导[18-19，22]、速度合成公式和加速度合成公式[18-20，22]。有些教材[18-20]在讲过刚体空间运动之后又重新讨论速度和加速度合成公式，还补讲转动系中的相对导数[20]。有的教材[21]把动参考系中的运动学列为与点的运动和刚体平面运动并列的模块，内容与前述类似，但可以处理空间问题。教材[23]直接在空间运动的参考系内研究速度合成与加速度合成。教材[24]专门讨论了旋转参考系，导出一般的速度合成公式，并用这些公式研究了平面机构的运动学。德国教材[25]基于相对导数概念导出一般的速度合成和加速度合成关系式，通过分析公式中各项引入三种速度和四种加速度的概念。美国教材都不提牵连速度和牵连加速度的概念，也不引入牵连点的概念。德国教材[26]按动系仅做平动和同时做平动转动两种情形推导了速度合成公式和加速度合成公式。有转动时也没有引入相对导数的概念而是通过推导动系基矢量导数得出结论。俄国教材[27]对于一般运动动系证明了速度合成定理和加速度合成定理，还讨论了刚体合成运动。

以上归纳分析表明，尽管国外特别是美国教材与国内教材的教学体系不同，但运动学的核心知识点相同。有差别的只是些提高引申内容，这些在国内教材中也不尽相同。

3 国外教材运动学部分可参考借鉴之处

国外教材的运动学部分的体系、方法和一些具体的处理可以供国内教材建设和课堂教学参考借鉴。

教学体系方面，首先是运动学是否独立成篇。德国教材[25]和俄国教材[27]与绝大多数国内教材类似，运动学单独成篇。这样的优点是知识体系完整，运动学内部各知识点连贯性强，便于不同运动分析方法间的比较。美国教材[18-24]和德国教材[26]都是把运动学穿插在动力学中，这样的主要优点是运动学与动力学衔接密切，便于通过在动力学中的应用及时巩固运动学知识；也可以把相对运动分析等难点留在动力学最后，便于学生掌握。

教学体系还体现在运动学内部教学内容的顺序。所讨论的国外教材[18-27]都是按照点的运动、刚体运动和复合运动的顺序展开，不同的是美国教材[18-24]在点的运动时也涉及这个问题。这种顺序的突出优点是教学坡度小，两点之间的相对运动比较直观；而刚体平面运动是运动学的重要内容，认真学过的学生再学习复合运动时更容易理解；同时，也有一定学习弹性，确实难以掌握复合运动的学生，用点和刚体运动的知识足以求解运动学常见的题目。缺点是从知识的完整性角度看这样处理复合运动有些零散。国内教材多数把复合运动安排在刚体运动之前，近年来这一情况有所改变。顺便一提，如果静力学和运动学独立成篇，运动学与静力学顺序在教学中没有特别实质性的差别。静力学先讲的好处是需要微积分较少，运动学先讲的好处是与物理差别明显，容易引起学生重视。

与所有的早期理论力学教材[5-16]截然不同，当代的理论力学教材[18-27]系统地采用了矢量记号，尤其在运动学中。矢量表示在理论上便于与解析运算结合。公式推导用矢量，自然轴系坐标、极坐标系单位矢量导数的计算，都是写出直角坐标系投影后求导计算，而只有个别教材[23]同时用几何方法说明。相对速度/加速度与绝对速度/加速度的关系也都是通过不同坐标系中位置矢量的关系求导建立，这样既直接又严谨，完全摒弃了早期教材[12，16]那种基于绝对、相对和牵连速度/加速度概念的几何推导。在具体解题中也采用矢量运算，多数情形是用矢量的直角坐标投影表示。矢量的全面采用不仅与矢量记号程式化程度高便于算法实现等优点有关，也与学生数学训练中传统的几何内容比过去大为减少有关，过去认为通俗直观的几何推导在对现在学生而言比矢量运算更难以接受。

美国教材在教学内容处理方面力求通俗易接受。复合运动的教学处理体现了全方位通俗化的努力。首先，内容的名称为相对运动，与复合运动相比更为具体，因为相对运动在动坐标系中真实存在，可以观测可以测量；从科学严谨性的角度，称为复合运动更恰当，因为最后结果是相对速度/加速度与绝对速度/加速度之间的关系。其次，把相对运动分析分成动系做平动和有转动两部分，有些教材后者还进一步分为平面和空间情形，由易到难，坡度较小。第三，统一采用矢量运算包括求导的方式处理，虽然推导有些繁复，但思路直接，而且与运动学整个处理方式协调一致。最后，避免引入非不可或缺的概念，没有牵连运动、牵连点、牵连速度和牵连加速度这些概念；只是在推导出速度关系和加速度关系后，说明相对速度和加速度均为零时，绝对速度或加速度就是动系上与动点重合点的速度和加速度，作为一种物理解释。这样处理后，复合运动这个难点变得相对容易掌握。

教材不仅需要完整准确阐述科学内容，也要便于学生学习参考。因此教材内容要便于接受。美国教材[18-24]这方面尤其突出，非常注意对学生学习的激励、引导和帮助。这体现在习题例题的选择安排，以及书外辅导材料等；也体现在算法程序和配套软件等。这两方面本质上与相应的静力学教材类似，笔者在分析静力学教材时[17]有所讨论，就不在此赘述了。德国和俄国教材没有习题，只有少量说明性例题，没有示范性例题。因此，德国教材[25，27]需要配备专门的例题和习题集，而俄国教材[26]可配合通用的习题集[28]。

总之，美国教材和德国俄国教材在教学处理方面侧重似乎不同。美国教材强调通俗易懂和使用方便，教学坡度比较小，教材内容丰富。德国教材和俄国教材更强调知识完整和传授高效，论述比较简洁、篇幅非常精炼。国内教材大体上介于两者之间。因此在普及方面可以多借鉴美国教材，在提高方面可以多借鉴德国俄国教材。