应用椭圆中的焦点三角形为直角三角形解题

岳昌庆

本文中的焦点三角形指椭圆或双曲线上一点P与两焦点F1,F2所组成的△PF1F2.

关于焦点三角形的面积及内切圆的性质,已在拙文《浅议焦点三角形的内切圆》(《高中数理化》2016年第11期)及《浅议焦点三角形的面积》(《中小学数学(高中版)》2016年第11期)中做了相应的研究.本文仅讨论当椭圆中的焦点三角形为直角三角形时,直角顶点在哪儿，需要满足什么条件，并通过历届高考题对这一知识点的考查,得出一个一般性结论.

图1

(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

(2)由于16=b2tan 45°,所以b=4,c2=a2-16.设|PF1|=m,|PF2|=n,在Rt△F1PF2中,有∠F1PF2=90°,

m+n=2a,

①

m2+n2=4(a2-16),

②

由①得n=2a-m,代入②整理得

2)椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有时也被称为“焦垂点”,见练习1.

2)本题中的点P的坐标是可求的,若不加“|PF1|>|PF2|”的限制,本题点P的坐标应该有8解.类似题目,见本文练习2及练习3.

3)这类题目,如果命制巧妙,也可能出现点P的坐标有6解的情况,见练习4.

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