基于热传导方程的温度分布模型的设计与研究

韩洪勇 陈硕 宋宇辉 山东科技大学电气信息系

关键字：有限差分法 Fourier定律 热传导方程

1 模型建立

1.1 确定温度分布情况

由于各层阻热各向同性，所以仅考虑一维状态下的热量分布。将织物材料构成的I、II、III层与空隙IV层简化为只与厚度L有关的一维平面。

首先，先简化问题将四层介质简化为两层新的介质a,b热量随时间进行扩散，需要考虑导热现象与冷却现象。建立二层耦合温度分布模型。再将二层耦合扩展为四层耦合模型，建立基于热传导方程的温度分布模型。

1.1 .1 Fourier定律

Fourier 定律就是描述热传导的基本定律。对于热传导部分，主要基于Fourier定律推导。

1.1 .2 牛顿冷却定律

牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围介质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当介质表面与环境存在温差时，单位时间单位面积散失的热量与温度成正比，这个比例系数称之为热传递系数。该定律用于计算介质中对流热量的多少。

1.1 .3 热传导方程的推导

1.1 .4 二层耦合温度分布模型的建立

首先建立二层介质的坐标系。根据推导的热传导方程分别确定介质a,b的热传导方程根据分别带入相应的介质a,b的热传导率，密度，比热。

确定两层介质的初始边值条件：

左边界条件的确定：介质a左侧与外界接触，其温度与恒定的外界温度相同，固a介质左边界的Dirichlet边值条件为：

右边界条件的确定：介质b右侧为右边界，介质a将热量传递给介质b，b的温度适中高于假人皮肤的温度，进而，假人相当于冷却源对介质b进行热量交换，根据牛顿冷却定律可知，Robin右边界条件为：

经过以上步骤，分别得到热传导方程，初值条件，边值条件，则在只有两种介质的情况下建立基于热传导方程的二层耦合温度分布模型。

1.1 .4 四层耦合温度分布模型的建立

在二层介质的基础上扩展为四层介质，首先确定四层介质的热传导方程。确定耦合条件，初值条件，边值条件。相邻两介质的临界面公有三个，在每一个临界面的热流量密度和温度相同，得到两个耦合条件，在三个临界面就可以确定六个耦合条件。在时刻，四层介质的温度均为。确定左、右边值条件和转化系数h。

首先查询资料得出转化系数h的范围为[5,25]。其次，通过附件2给出的不同时刻下假人皮肤表面的温度值，借助变步长多次枚举法确定最佳转化系数的值。粗略估计转化系数 h 的值。

经过程序进行分析，最佳转化系数的值的范围应该在[8,9]之间。设置步进长为0.01，在[8,9]范围内，经过MATLAB枚举，确定h的值应在[8.61,8.63]。进一步缩小步进值为0.0001，范围在[8.61,8.63]范围之间。经过枚举遍历，确定出h的精确值为8.6227。得出基于热传导方程的温度分布模型。

2 基于热传导方程的温度分布模型的求解

在1.1.4中建立的温度分布模型属于抛物型方程，因为边值条件复杂且难以求得解析。本文将采用有限差分法。将连续的定解区域用有限个离散点结构的网格来代替，把定解区域上的连续变量的函数用网格上定义的离散变量的函数来近似，把原方程和定解条件中的微商用差商来模拟。最终，把原微分方程和定解条件用代数方程组来代替，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似值。

传热问题数值求解的基本思是将时间、空间上的连续物理量离散在各个节点上，用有限差分法求解物理量的数值解。

差分有显式和隐式两种，对于显式格式，求解计算量更小，但精度较低，隐式差分必须求解联立方程组，稳定性和精确度较高但计算量较大。为了精确度，所以选用隐式差分格式。

常用的差分格式有：向前差分格式、向后差分格式和C-N差分格式（Crank_Nicolson差分格式）。

（2）温度分布模型的求解步骤

经过上述三种差分格式的比较，本文采用向后差分格式和迭代法求解。建立隐式向后差分格式，将差分格式整理为代数方程组。考虑温度分布模型中的最右端顶，略去最小项，用二阶中心差商代替u对x的偏导数：得到：

考虑温度分布模型中的热传导方程的左端项，用一阶前差商代替u对t的一阶偏导数，得到：

建立差分格式：

在结点处考虑不同介质下的热传导方程，得到介质内部的差分格式。依据热流量密度的耦合条件，得到介质边界处的差分格式。依据第 IV 层介质右侧 Robin 边值条件，得到边界4上的差分格式。之后将差分格式整理为方程组。

利用追赶法解三对角线方程组

step1：对三角矩阵A做LU分解,即A=MN。

step2：令y=NU,原方程组等价为MNU=b。

step3：追的过程：由My=b,求y。

step4：赶的过程：由NU=y，求U。

step5：求得方程组解。

根据追赶法求得不同时刻不同厚度下的温度分布情况。四层介质的四个临界面相同时间间隔 下的温度值。绘制成温度关于时间的二维曲线。如下图所示：