循环卷积在滤波多载波干扰分析中的应用＊

申江慢

循环卷积在滤波多载波干扰分析中的应用＊

申江慢

（丽水职业技术学院，浙江 丽水 323000）

循环卷积是数字信号处理领域中的核心数学工具之一，是连接时频域之间的重要桥梁。干扰分析一直是滤波多载波技术的难题之一，受限于较长的滤波器长度，符号间干扰不可忽略。直接用线性卷积进行分析会导致公式形式繁冗，且各级求和上下限高度耦合，导致后续分析难以推进。通过延长观察窗口，构成物理上循环移位的结构，将循环卷积引入到滤波多载波的干扰分析中，将时域卷积转换成频域点乘，大大降低了分析难度。通过仿真验证，提出的分析方法可以准确构造出干扰的表达式，为后续的信干比分析及滤波器设计等工作打下了很好的基础。

循环卷积；线性卷积；滤波多载波；干扰分析

1 引言

滤波多载波技术是5G后（5G and beyond）的基础波形技术[1]，通过对子载波或者子带进行滤波，大大降低干扰泄漏（out-of-band emission，OOBE），从而将用户间干扰控制在很小的范围之内。但是大部分的滤波多载波技术中使用的滤波器长度都远超循环前缀（cyclic-prefix，CP）的长度，这使得滤波多载波接收信号不再具有类似CP-OFDM接收信号中循环移位的特殊结构，符号间干扰（inter-symbol interference，ISI）无法避免[2]，这也使得循环卷积无法直接应用到其中。一种近似的分析方法是忽略ISI的存在，直接在频域进行干扰分析，这样处理的弊端是非常明显的，无法分析ISI及异步传输对于干扰的影响，也无法准确分析子载波间干扰（inter-carrierinterference，ICI）和子带间干扰的影响。更准确的分析方法是在时域展开干扰分析，目前在通用滤波多载波（universal filtered multicarrier，UFMC）[3]、基于成型滤波器函数设计的交错正交幅度调制正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing With Offset Quadrature Amplitude Modulation，OFDM/OQAM）[4]中都有类似的分析方法。这样分析的优点是准确度高，但是在（filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing，f- OFDM）[5]中，传统的直接用线性卷积在时域开始分析的方法并不适用。因为f-OFDM中收发两端都有基于子带的滤波操作，而且滤波器长度远超CP长度，由于发送滤波器、多径信道和接收滤波器三者都可以视为线性时不变系统，因此接收时域信号相当于发送时域信号依次和这三者线性卷积的结果。如果直接用线性卷积对接收信号进行建模，虽然逻辑上最容易理解，但是由于线性卷积的特点，多级线性卷积操作之间的上下限相关性很强，这使干扰本身的建模难度非常大，而且对后续的方差推导等工作带来诸多不便。

2 卷积介绍

2.1 线性卷积

线性卷积是数字信号处理领域的重要数学工具，尤其是对线性时不变离散时间系统而言，它描述的是线性移不变系统的输入输出关系，体现系统的内在特性。假设一个输入序列（）输入到一个单位脉冲响应为（）的线性移不变系统中，由于线性系统的叠加属性，系统输出可以表示为：

式（1）中：*表示线性卷积运算。

当（）和（）均为有限长，且长度分别为X和H时，修正为：

从式（2）看出，线性卷积等效于用（）的抽头加权（）的各个时延版本，然后再求和。

举例说明，假设（）=[1，2，2]，（）=[1，2，3，4]，则（）=（）*（）可以通过如下计算过程得到：

（）=[1，4，9，14，14，8]，由式（3）可知，线性卷积中存在移位、加权和求和等操作，而且计算结果的序列长度为原序列长度和减1。

2.2 循环卷积

与线性卷积相对的，（）和（）的循环卷积可以表示为：

由式（4）可知，循环卷积的基本计算过程也是由移位、加权和求和三步组成，但和线性卷积不同的地方在于，线性卷积的移位是线性右移，这会导致输出序列长度变长。而循环卷积的移位是循环右移，并不会增加输出序列的长度[6]。为了说明情况，同样以上面的例子为例，序列（）=[1，2，2]和（）=[1，2，3，4]的循环卷积结果为：

循环卷积的应用主要在离散傅里叶变换（DFT）中，在DFT中，两个序列循环卷积的DFT等价于它们各自DFT变换的点乘，即：

循环卷积的主要意义在于，配合DFT进行适当时频转换，可以通过点乘来代替卷积运算，降低分析难度和运算量。

2.3 线性卷积和循环卷积的相互转化

从上面的分析可知，一般情况下，序列（）和（）的线性卷积和循环卷积由于移位的规则不一样，造成其输出序列的长度及数值不同。但是如果将两个序列分别先通过补零延长到X+H－1以上，得到（）和（），则：

只要适当延长卷积操作的窗口，就可以利用循环卷积来计算线性卷积[7]。

3 应用对比

OFDM的时域发送信号可以表示为：

式（8）中：n（）为第个OFDM符号中第个样点的时域信号；为子载波数；n（）为第个OFDM符号中第个子载波上的频域信号。

3.1 基于线性卷积的干扰分析

在滤波多载波的收发机中，收发两端的滤波器以及多径信道都可以建模为线性移不变系统，因此可以非常直观地使用线性卷积对接收信号进行建模。

时域发送信号经过发送滤波、过多径信道和接收滤波之后，干扰结构如图1所示。

注：LO为由发送滤波器、多径信道及接收滤波器组成的等效信道he（k）的长度；LCP为CP的长度；LS为群延时的长度。

从图1看出，会对第个符号n（）造成pre干扰的是第－1个符号n－1（）中的倒数个样点，即n－1（），－（O－1－CP－S）≤≤－1。数据信号n－1（）、等效滤波器e（）、多径信道（）三者线性卷积之后得到+O－1个样点。直观地用线性卷积对接收信号进行建模：

由于发送滤波器、多径信道、接收滤波器都可建模为线性移不变系统，是可以交换顺序的。

不妨将发送滤波器和接收滤波器视为一个长度为的等效滤波器e（），原来的等效信道即为等效滤波器和多径信道的卷积，即：

可以得到：

e（）中0≤≤－1，需要满足：

不难发现，使用线性卷积分析干扰虽然理解上非常直观，但是多个线性卷积在表示上会引起多层求和运算，导致接收信号的表达式非常繁冗。

此外，加上多层求和运算变量之间的高度耦合，会导致变量范围界定困难，并造成干扰表达式被割裂为多个多项式之和的形式。

这些结果给后续的干扰方差计算带来了非常大的难度，不利于干扰分析的推广应用。

3.2 基于循环卷积的干扰分析

为了将三者的线性卷积转换为循环卷积，将三者各自的尾部补零至≥+O－1个样点之后，pre干扰部分可以表示成下式：

对比式（9）和式（11）不难发现，使用循环卷积进行干扰分析可以使干扰表达式更紧凑，避免了多重变量耦合和解析式分段，有利于后续的进一步干扰分析。

4 仿真验证

为了验证本文所提出方法的准确性，本文使用蒙特卡洛方法进行仿真，仿真参数如表1所示。

表1 仿真参数设置

采样率/MHz30.72 子带宽度/kHz720 IDFT长度2 048 CP长度32 子载波分布位置148～195 调制阶数4QAM 每帧中的Block数14 滤波器长度1 024 多径信道Extended Pedestrian A model 均衡方法迫零均衡 蒙特卡洛实验次数10 000

为了验证用循环卷积构造出的干扰的准确性，首先给出原始的频域接收信号星座图，如图2所示。

图2 原始接收信号星座图

如图2所示，原始的接收信号的星座点凌乱地散布在目标星座点附近，这是因为在滤波多载波中，滤波器的长度大于CP长度，单纯去除CP的操作无法去除ISI等干扰。去除干扰后的接收信号星座如图3所示。

图3 去除干扰后的接收信号星座图

如图3所示，在去除式（11）重构的干扰之后，剩余干扰被完全去除，完美恢复出了功率归一化之后的发送信号。

进一步地，对pre的仿真功率进行验证，如图4所示。

图4 验证ISIpre的仿真功率

从图4可以清楚地看出，pre功率的实际仿真和理论计算值非常贴近，这进一步验证了本文提出的基于循环卷积的干扰分析的可行性和准确性。

5 总结

干扰分析是波形技术发展的基础性工作，对于后续的信道估计与均衡、同步估计与补偿等都有直接的关系。

本文针对f-OFDM的结构特点，通过延长时域观察窗将循环卷积引入到干扰分析中。

从频域关系出发，通过时频转化，将不同符号间的多种子干扰成功解耦，避免了传统干扰分析方法中直接从时域出发，使用线性卷积进行干扰建模，导致多个符号间各种子干扰耦合严重的问题。

从算法上看，本文提出的分析方法思路清晰，结构简单，非常便于后续的干扰方差推导等进一步分析。

另外，本文算法的准确性也得到了仿真验证，去除理论干扰后的接收信号得以完美恢复，根据理论计算的干扰功率曲线和仿真曲线也基本吻合，达到了设计预期目标。

［1］FARHANG-BOROUJENY B，MORADI H.OFDM inspired waveforms for 5G［J］.IEEE Commun Surveys Tuts，2016，18（4）：2474-2492.

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TN92

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.006

2095－6835（2020）02－0022－04

丽水职业技术学院青年基金项目“循环卷积在滤波多载波干扰分析中的应用研究”（编号：LZYC201801）

〔编辑：严丽琴〕