含转角自由度断裂膜元运用扩展有限元方法研究综述

俞成雯

(重庆交通大学 重庆 400074)

一、扩展有限元法

(一)扩展有限元法概念

扩展有限元法采用的形状(插值)函数是包括了不连续函数，利用单位分解的方法，在常规有限单元法的位移模式中采用不同类型的加强函数在裂纹上，使用渐进位移场的低阶项，来模拟裂纹尖端的奇异性，而应力强度因子需要经过特殊的积分计算。

(二)扩展有限元的研究情况

Xiao和Karihaloo[1]总结了扩展有限元法在静态裂纹中的应用的综合表现，并且发现扩展有限元法与广义有限元法的相性较好。Karihaloo等[2]将扩展有限单元法与广义有限元法进行了比较，提出了广义有限单元容许P-自适应，将有限元空间采用解析解或给定值问题的数值解进行改进，无须精细化分的网格计算的精准数值解。

余天堂[3-4]利用扩展有限元法的基本原理，提出了解决不连续函数的数值积分，并运用该方法推导出裂纹尖端的应力强度因子的计算式，并且提出了三维裂纹问题以及摩擦接粗裂纹问题的扩展有限元法。

二、广义协调元

(一)广义协调元的概念

由龙驭球等[6]提出了广义协调元，归纳和总结了协调元和非协调元的特点，便于选取场函数，保证了单元的灵活性。广义协调元实质上是非协调元，但是在含以上却不同于传统的非协调元，将多变量的退化型(极限型)势能原理来表示变分。

(二)含转角自由度的平面断裂膜元

在连续体平面问题中，位移型的Lagrange单元及结点仅出现在边上的Serendipity单元，可作为平面膜元。这类单元在板壳有限元中运用最广，它的每个结点位移分量为两个线位移来保证收敛，Stricklin等[7]和Lee等[8]就此问题，在四边形八结点等参单元Q8上进行研究和探讨。为了减少内部节点从而达到计算简化，提出了在平面膜元上增加旋转自由度的概念，得到了更为精确的解，增加了单元位移场阶次数。

1.平面断裂膜元引入

平面断裂膜元，就是基于平面膜元的基础概念上，全新开发的新型断裂单元。龙驭球院士课题组虽然提出了含转角自由度的平面膜元，但仍未考虑其在单元裂纹问题的研究，对转角自由度的处理，需要对裂纹单元所包含的裂纹的不同而分别讨论。常规单元即采用平面膜元的表示方法，即用单元结点线位移确定的位移场和由角点刚体产生的附加旋转位移场分别表示，而断裂单元则用这两个位移场正确表示转角自由度。

2.研究方法

选取合适的含转角自由度的平面膜元，构造考虑转角自由度的位移场，在不连续处的构造，考虑转角自由度和线自由度的表达式，在这里将不连续位移场和连续位移产由角点刚体转角产生的附加旋转位移场与角点线位移引起的变形量分别单独考虑，用不同的位移场公式进行叠加。采用矩形平面膜元的时候，通常采用面积坐标法来表示结点的坐标，这里需要采用广义协调元理论，求出待定系数，从而正确表示面积坐标；扩展有限元方法的公式理论推导，包括求解刚度矩阵、应力强度计算等，推导裂纹贯穿单元和含裂尖单元的扩展有限元格式；编写含转角自由度的断裂膜元计算程序，正确运行平面断裂膜元的开发代码并引用例子进行准确性校核。

3.研究结论

开发一个垂直单元平面的含旋转自由度的平面断裂膜元，在引进扩展有限元法和增加位移场的阶次的情况下，得到断裂单元。它的角点自由度能非常方便地与其他类型单元，如板、壳及梁单元相连接，所以平面断裂膜元的开发上更加迫切。在具有旋转自由度的断裂膜元作为一部分理论基础，对组成的平板型断裂壳元研究提供理论参考，能够了解壳体的断裂情况，在运用扩展有限元知识的情况下解决此类问题，还能为高层结构中的剪力墙的断裂分析提供一种思路。