精心设计问题，加深概念理解

文/深圳市布吉高级中学

问题是数学活动的出发点.教师要在探究内容和设问层次上进行深入分析研究，以确保课堂中在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同深入探讨，提高数学课堂效率.以下结合《数学归纳法》的这一节课的内容及设计进行分析，谈谈自己的一些理解.

一、创设情境，激发学习动机

问题 2：你怎么得到an表达式的?这个表达式正确吗？

学生：从特殊概括出一般的推理，即归纳推理.因此前4项是正确的，后面的某一项都要逐个验证，并不能肯定对所有的正整数n都成立.

问题3：在这个问题中，如果严格证明需要验证无限次，有什么办法解决呢？

设计意图：由问题引导学生经历观察、归纳、猜想的过程，学生由归纳推理猜想出结论，但是结论未必正确，学生遇到了困难：不可能一一进行验证.为解决这个问题，学生就在思考怎么用有限次的步骤来证明这个难点，这样就形成了主动寻求知识的动力.

二、感受生活，探索解决方法

以多米诺骨牌实验为例,教师先播放自制的“多米诺骨牌”实验一：视频中在一只手推倒第一块后所有的多米诺骨牌能全部倒下.

问题4：如果桌上现有n块直立的骨牌，试探究：怎样才能让所有的骨牌倒下？

学生：要保证前一块倒下时，一定导致后一块倒下，也就是说骨牌的高度要小于两块骨牌的间距.

教师展示动画实验二：在该实验中，第2块骨牌和第3块骨牌的间距拉大，其他间距不变.教师用手推倒第1 块骨牌，结果只倒下第1和第2块骨牌，实验失败.

实验三：在该实验中，第3块骨牌和第4块骨牌的间距拉大，其他间距不变.教师用手推倒第1 块骨牌，结果只倒下第1、2、3块骨牌，实验失败.

问题5：对比实验二、三和实验一，讨论实验失败的原因，如何用数学语言描述上述结论？

学生：假设第k块倒下，则第k+1块也倒下.

教师展示动画实验四：在该实验中，骨牌的间距和实验1相同，教师用手推第1块骨牌，没有推倒，实验失败.

问题6：对比实验四和实验一，思考实验中“手”的作用是什么？

学生：实验成功的第一个条件是：第1块骨牌必须倒下.

师：通过这4个实验学生得到了骨牌要全部倒下的条件有两个：(1)第1块骨牌必须倒下； (2)若第k块倒下，则第k+1块也倒下.

问题7：你认为这两个条件的作用是什么？

师生共同讨论，可以得到：条件(1)是起步作用，条件(2)是递推作用，它总是能把某一块倒下的结果传递到下一块骨牌.这样无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)都成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

设计意图：数学归纳法这个概念具有高度的抽象性，需要组织形象、生动的素材，引导学生从素材中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果，抽象出数学归纳法原理，这个实验便是充当了这样一个角色.通过课堂观察，对于条件(2)学生比较容易得到，只是比较难想到用数学语言描述，因此教师做了实验二和实验三启发学生，并通过设问，让学生理解其实条件(2)给出的就是一个递推关系.对于条件(1)通过教师提问“手”的作用，学生可以得到，如果没有推倒第一块骨牌，后面的骨牌不会倒下.

三、类比迁移，感悟概念形成

教师：多米诺骨牌实验使我们感受到了可以只要保证了条件(1)(2)，就能使所有的骨牌都倒下，这使同学们兴奋不已.但这并不能用来证明数学问题，需要抽象概括出其中所蕴含的原理，才能迁移到数学问题的解决上.

问题8：那个数列通项公式的证明问题和多米诺骨牌实验有相似之处吗？你能通过类比解决这个数列问题吗？

师生探索：都存在一种递推特征，并得出下表.

多米诺骨牌实验原理求数列通项(1)第一块骨牌倒下.(1)数列的第一项成立.(2)假设第k块骨牌倒下,则第k+1块骨牌也倒下.(2)假设第k项成立,能推到第k+1项成立.根据(1)(2)得所有骨牌倒下.根据(1)(2),对所有的项都成立.

板演过程：

教师：通过这个问题的解决，我们知道这种方法是可行的.我们并没有对所有的n进行验证，而是利用了递推思想，实现了从无限到有限的转化.

问题9：你能将这个方法推广到一般命题的证明吗？

学生一起讨论，得到下表：

多米诺骨牌实验原理数学归纳法原理(1)第一块骨牌倒下.(1)证明当n=1时命题成立.(2)假设第k块骨牌倒下,则第k+1块骨牌也倒下.(2)假设n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)得所有骨牌倒下.根据(1)(2),命题对于所有正整数n都成立.

教师：说得有道理，所以我们应该说第一步是证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.我们一起来更正刚才表格的不足之处.

多米诺骨牌实验原理数学归纳法原理(1)第一块骨牌倒下.(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N∗)时,命题成立.(2)假设第k块骨牌倒下,则第k+1块骨牌也倒下.(2)假设n=k(k⩾n0,且kN∗)时命题成立,证明当n=k+1时命题成立.根据(1)(2)得所有骨牌倒下.根据(1)(2),命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.

设计意图：这个环节是本节课的关键所在，根据学生的“最近发展区”内设计问题的理念，通过问题引领学生运用从多米诺骨牌实验原理解决问题情境的疑难问题，进行提炼出数学归纳法原理.

四、巩固概念，解决疑惑问题

问题10：下面判断中，正确的是______

(1)式子1+2+22+…+2n(n∈N*)中，当n=1时，式子的值为1.

(2)式子1+2+22+…+2n-1(n∈N*)中，当n=1时，式子的值为1+2.

(1)(归纳奠基)当______时,左边的表达式为________________.

(2)(归纳递推)假设______时，命题成立，左边的表达式为________________.

那么，当n=k+1时，左边的表达式为______________.

设计意图：问题10的设计主要针对左边的表达式开始是哪一项、结束是哪一项、共有多少项这三个难点而设计.问题11的设计主要是突破两点，一是引导学生学会分析第一步该证明什么，二是引导学生分析从n=k到n=k+1时，左边增加哪些项.这些问题是学生的常见错误，旨在通过培养学生的严密的逻辑推理能力.通过这些问题的分步解决，最终让学生形成解决问题的综合能力.设计问题时，遵循由易到难的原则，进一步加强了学生对数学归纳法的理解.

五、回顾小结，升华数学思维

教师设置4个问题：

(1)数学归纳法能够解决哪一类问题？

(2)数学归纳法证明命题的步骤是什么？

(3)数学归纳法证明命题的关键在哪里？

(4)数学归纳法体现的核心思想是什么？

设计意图:通过学生的反思与提炼，再次感受数学归纳法的核心思想是递推思想，运用有限的手段，来解决无限的问题.并且证明过程中两个步骤和一个结论，缺一不可，关键是在第二步，即归纳假设要用到.通过这些问题的设置，引导学生对数学归纳法的理解再升华.

总之，教师不能以“一个定义+几项注意”来进行概念课的教学，必须在舍得在概念课上花时间，要精心设计好每个问题，并学生经历观察、比较、分析、概括等过程，只有这样，概念课的教学才能让学生深刻理解概念的本质，才会在学生的积极参考和合作探索下显得生动高效.