弱Φ-可补子群对p-幂零群结构的影响

赵 勇， 孔新海

（广安职业技术学院师范学院，四川广安638000）

利用各种正规或可补子群来研究有限群的结构是有限群理论研究的重要课题之一.近年来，学者们利用不同的可补子群来刻画有限群的结构，得到了大量的研究结果，例如文献［1-7］，进一步丰富和完善了有限群结构的研究.2012年，文献［8］引入SΦ-可补子群的概念：称有限群G的子群H在G中是SΦ-可补的，如果存在G的一个次正规子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H），其中 Φ（H）是H的Frattini子群.2013年，文献［9］削弱了SΦ-可补子群的条件，引入弱Φ-可补子群的概念：设H是有限群G的一个子群，称H在G中是弱Φ-可补的，如果存在G的一个子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H）.作者在文献［9］中讨论极小子群的弱Φ-可补性对p-幂零群结构的影响，得到了如下结论：令G是有限群，N是G的一个正规子群使得G／N是p-幂零群.若N的每个极小子群均包含在Z（G）中，且N的每个4阶循环子群均在G中弱Φ-可补，那么G是p-幂零群.

本文将进一步探讨p子群，p2阶子群的弱Φ-可补性对p-幂零群结构的影响.文中Gp表示G的一个Sylow p-子群，Φ（G）表示群G的Frattini子群，即G的所有极大子群的交.

一个群类F称为群系，如果它关于同态像和次直积都是封闭的.一个函数f称为一个群系函数，如果对于任意素数p，f（p）为一个群系.一个群系F称为局部的，如果存在一个群系函数f满足F＝｛G｜G／CG（H／K）∈f（p），对于 G 的所有主因子 H／K 且p｜｜H／K｜｝，此时称 f局部定义了群系 F，并记作F＝LF（f）.如果一个群系满足条件：由 G／Φ（G）∈F 总有G∈F，则称F为饱和群系.众所周知，一个群系是局部的当且仅当它是饱和的.在本文中，Np表示所有p-幂零群构成的群类.明显地，Np是子群闭的局部群系.

本文所涉及到的群均为有限群，所用术语和符号都是标准的，请参见文献［10］.

1 预备知识及引理

引理1.1［9］设G是有限群，H在G中弱Φ-可补，那么：

1）如果H≤K≤G，则H也在K中弱Φ-可补.

2）设H是G的正规子群.如果K在G中弱Φ-可补，那么K／H在G／H中弱Φ-可补.

3）设 E是 G的的一个正规子群，且（｜H｜，｜E｜）＝1，那么 HE／E 在 G／E 中弱 Φ -可补.

引理1.2设G是一个有限群.如果M≤G，那么 MNp≤GNp.

证明因为 M／M∩GNp≅MGNp／GNp≤G／GNp，而 G／GNp∈Np，Np是一个子群闭的局部群系，所以

M／M∩GNp∈Np.因此 MNp≤M∩GNp.由此明显有MNp≤GNp.

引理 1.3［11］设 G 是一个有限群，p 是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1的素因数.如果N是G的p阶正规子群，则N≤Z（G）.

引理1.4［10］设H是 G的一个p-子群但不是G的Sylow p-子群，那么H＜NG（H）.

引理 1.5［12］设 G 是一个有限群，p 是｜G｜的满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.如果 G／L是 p-幂零群并且p3｜L｜，那么G是p-幂零群.

引理1.6设G是一个有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.若 H≤G 且｜G∶H｜＝p，则 HG.

证明若p＝2，则｜G∶H｜＝2，于是 H◁G.若p＞2，由于（｜G｜，p2-1）＝（｜G｜，（p＋1）（p-1））＝1，此时G必为奇数阶群，根据奇阶定理，G可解.令N是群G的一个极小正规子群且N≤／H，则N是一个初等Abel群.明显有G＝HN且H∩N◁G，因此H∩N＜N.由N的极小正规性，有H∩N＝1.于是｜N｜＝｜G∶H｜＝p.由引理1.3知N≤Z（G）.由于G＝HN，则对任意的 g∈G，必有 g＝ha，其中 h∈H，a∈N.故有g-1Hg＝（ha）-1H（ha）＝a-1（h-1Hh）a＝a-1Ha.因N是初等 Abel群且 N≤Z（G），故 a-1Ha＝H，于是g-1Hg＝a-1Ha＝H，这表明H◁G.

2 主要定理

定理2.1设 G是有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1的素因数.设E是G的一个正规子群使得G／E是p-幂零群.若Ep∩GNp的每个阶为p或4循环子群均在G中弱Φ-可补，那么G是p-幂零群.

证明假设定理结论不成立，G是极小阶反例.

1）G是极小非p-幂零群.事实上，令M是G的任意一个真子群，由于 M／M∩E＝ME／E≤G／E，故M／M∩E是 p-幂零群.不妨令 T＝M∩E，则Tp＝Gp∩T＝Gp∩M∩E≤Ep，因此由引理 1.2，Tp∩MNp≤Ep∩MNp≤Ep∩GNp.由引理 1.1 的 1），Tp∩MNp的每个阶为p或4的循环子群均在M中弱Φ-可补.因此（M，M∩E）满足题设条件，由G的极小性，M是p-幂零群，因此G是极小非p-幂零群.

2）G 有如下性质：（i）G＝Gq∝Gp，其中 Gq是非正规的循环群，GpG.（ii）当 p＞2，exp Gp＝p；当 p＝2，exp Gp≤4.（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的极小正规子群.（iv）Gp≤E.

由文献［13］，G是极小非幂零群.由 Itô定理［13］，（i）～ （iii）成立.且 Gp＝GNp是 G 的 Np剩余类，因 G／E 是 p-幂零群，故（iv）成立.此时 Ep∩GNp＝Gp.

3）exp Gp≠p.如果 exp Gp＝p，令 x∈Gp＼Φ（Gp），则 o（x）＝p且〈x〉在 G 中弱 Φ -可补.于是存在G的子群 K使得 G＝〈x〉K且〈x〉∩K≤Φ（〈x〉）＝1，则｜G∶K｜＝｜〈x〉｜＝p.不妨令 H＝Gp∩K.若 H＝1，则｜Gp｜＝｜G∶K｜＝｜〈x〉｜.注意到〈x〉≤Gp，于是 Gp＝〈x〉G 且 G／〈x〉是 p-幂零的.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），因此G／Z（G）是p-幂零的.这表明G是p-幂零的，矛盾.因此H≠1.因为 K≤NG（H），由引理1.4，H ＜ NGp（H）.于是｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜.由于 G＝GpK，｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜≤p.因此G＝NG（H），HG.这表明 HΦ（Gp）／Φ（Gp）◁G／Φ（Gp）.由 Gp／Φ（Gp）的极小正规性，有 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），则 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩〈x〉K＝〈x〉（Gp∩K）＝〈x〉Φ（Gp）＝〈x〉.因此〈x〉G.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），于是 G／Z（G）是 p-幂零的.这表明 G 是 p-幂零的，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，则 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K.因此 Gp≤K，这样导致 G＝K，矛盾.

4）最终矛盾.由 2），exp Gp＝4.令 x∈Gp＼Φ（Gp），则o（x）＝4 且〈x〉在 G 中弱 Φ -可补.于是存在G的一个子群N使得 G＝〈x〉N且〈x〉∩N≤Φ（〈x〉）＝〈x2〉.因此，｜G∶N｜＝｜〈x〉N／N｜＝｜〈x〉／〈x〉∩N｜＝｜〈x〉｜／｜〈x2〉｜＝2，于是必有NG.由 于 Gp／Φ （Gp）∩ NΦ （Gp）／Φ （Gp）G／Φ（Gp），由Gp／Φ（Gp）的极小性可得 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp或Φ（Gp）.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp，则 Gp≤N，从而〈x〉∩N＝〈x〉，矛盾.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Φ（Gp），则 Gp＝Gp∩〈x〉N＝〈x〉（Gp∩N）＝〈x〉.矛盾.此矛盾表明极小阶反例不存在，定理结论成立.

推论2.1设 G是有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1的素因数.设E是G的一个正规子群使得G／E是p-幂零群.若Ep的每个p或4阶循环子群均在 G中弱 Φ-可补，那么G是 p-幂零群.

推论2.2设 G是有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1 的素因数.若 Gp∩GNp的每个 p或4阶循环子群均在G中弱Φ-可补，那么G是p-幂零群.

推论2.3设 G是有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1 的素因数.若 Gp的每个 p或4阶循环子群均在 G中弱 Φ-可补，那么G是 p-幂零群.

推论2.4设 G是有限群，p是｜G｜的满足（｜G｜，p-1）＝1 的素因数.若 GNp的每个 p或 4 阶循环子群均在G中弱Φ-可补，那么G是p-幂零群.

注1以上定理2.1和推论2.1～2.4中的条件“（｜G｜，p-1）＝1”必不可少.比如 G＝S3，取 p＝3，G每个3阶子群在S3中弱Φ-可补，但S3不是3-幂零群.

定理 2.2设 G 有限群，p是｜G｜满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.设E是G的正规子群使得G／E是p-幂零的.若Ep∩GNp的每个阶为p2的子群均在G中弱Φ-可补，则G是p-幂零的.

证明假设定理结论不成立，G是极小阶反例.

1）G是极小非 p-幂零群.由引理1.5，有｜Ep｜＞p2.令 L 是 G 的一个真子群，由于 L／L∩E≅LE／E≤G／E，因此 L／L∩E 是p-幂零的.因 L／L∩E是p-幂零的，所以LNp≤L∩E.不妨令R＝L∩E.若｜R ｜p≤p2，由引理 1.5，L 是 p- 幂零的.若｜R｜p＞p2.不实一般性，有 Rp∩LNp＝.若｜Rp∩LNp｜p≤p2，则≤p2，则由引理1.5 知 L 是 p-幂零的.若｜Rp∩LNp｜p≥p3，由引理 1.1 的 1）知 Rp∩LNp的每个阶为p2的子群均在L中弱Φ-可补.由G的极小性知L是p-幂零的.于是G是极小非p-幂零群.

2）G具有下列属性：（i）G＝Q∝Gp，其中Q是G的循环非正规子群，GpG；（ii）当 p＞2，exp Gp＝p；当 p＝2，exp Gp≤4；（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的极小正规子群；（iv）p3｜｜Gp｜；（v）Gp≤E.

由1）和文献［13］，G 是极小非幂零群.由 Itô定理［13］，（i）～ （iii）成立.由引理 1.2 知（iv）成立.因为Gp＝GNp是 G的 p-幂零剩余类，而 G／E是p-幂零的，故（v）成立.此时 Ep∩GNp＝Gp.

3）Gp不是循环群.假设Gp是循环群.若exp Gp＝p，则｜Gp｜＝p，因而 Aut（Gp）＝p-1.若 exp Gp＝4，则｜Gp｜＝4，因而 Aut（Gp）＝2.由于 NG（Gp）／CG（Gp）Aut（Gp）且（｜G｜，p-1）＝1，有 NG（Gp）／CG（Gp）＝1.由“N／C 定理”，G 是p-幂零的，矛盾.

4）存在Gp的一个子群T使得｜T｜＝p2且 T≤／Φ（Gp）.若 Φ（Gp）＝1，则 4）成立.假设 Φ（Gp）≠1.若｜Gp｜＝p3，则 Gp存在阶为 p2的极大子群.由3），Gp不是循环群，于是Gp至少存在2个不同的极大子群 U1和 U2.若 U1和 U2均包含在 Φ（Gp）中，那么 Gp＝U1U2≤Φ（Gp），矛盾.因此，可假设｜Gp｜＞p3.令 x∈Gp＼Φ（Gp）且 a∈Φ（Gp），其中｜a｜＝p.因为 Φ（Gp）≤Z（Gp），所以〈x〉〈a〉≤G.由 2）有｜x｜＝p或｜x｜＝4.若｜x｜＝4，可以选择 T＝〈x〉.若｜x｜＝p，则｜〈x〉｜｜〈a〉｜≤p2.若｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p，则〈x〉＝〈a〉，矛盾.因此｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p2.此时可取T＝〈x〉〈a〉.

5）最终的矛盾.由4）得｜T｜＝p2.由定理假设T在G中弱Φ-可补.因此，存在G的一个子群K使得G＝TK 并且 T∩K≤Φ（T）.因｜T｜＝p2，故｜Φ（T）｜＜p2.因此，｜T∩K｜＝p或｜T∩K｜＝1.不妨令 H＝K∩Gp且 H≠1.事实上，若 H＝1，因为 G＝TK＝GpK，所以Gp＝Gp∩G＝Gp∩TK＝T（K∩Gp）＝T.因此 G／T＝G／Gp是 p-幂零的.由引理1.5，G 是p-幂零的，矛盾.因此H≠1.下面分2种情况讨论：

（i）若｜T∩K｜＝p，则｜G∶K｜＝p.因为 K≤NG（H）且 H ＜NGp（H），所以｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜＝p，由此可推断 G＝NG（H），于是 HG.因此，HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是G的极小正规子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），则 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此，Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，则 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此 Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.

（ii）若｜T∩K｜＝1，则｜G∶K｜＝p2.类似于（i）的讨论可得｜G∶NG（H）｜＜ p2.若｜G∶NG（H）｜＝1，则 HG.类似情况（i）讨论可得矛盾.若｜G∶NG（H）｜＝p，则 NG（H）是 G 的极大子群，由引理1.6知 NG（H）G.令 R＝Gp∩NG（H），则 RG.若R≤Φ（Gp），则 Gp＝Gp∩TK＝Gp∩TNG（H）＝T（Gp∩NG（H））＝TR＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 R≤／Φ（Gp），则1≠RΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.因为Gp／Φ（Gp）是 G 主因子，故 Gp＝RΦ（Gp）＝R＝Gp∩NG（H）.因此 Gp≤NG（H），而 K≤NG（H），于是G＝GpK＝NG（H），因此 H ◁G，且 HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是 G 的极小正规子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），则 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，则 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.此矛盾表明极小阶反例不存在，定理结论成立.

推论 2.5设 G 有限群，p是 ｜G｜满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.设E是G的正规子群使得G／E是p-幂零的.若Ep的每个阶为p2的子群均在G中弱Φ-可补，则G是p-幂零的.

推论 2.6设 G 有限群，p是 ｜G｜满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.若 Gp∩GNp的每个阶为 p2的子群均在G中弱Φ-可补，则G是p-幂零的.

推论 2.7设 G 有限群，p是 ｜G｜满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.若Gp的每个阶为p2的子群均在G中弱Φ-可补，则G是p-幂零的.

推论 2.8设 G 有限群，p是 ｜G｜满足（｜G｜，p2-1）＝1的素因数.若GNp的每个阶为p2的子群均在G中弱Φ-可补，则G是p-幂零的.