高中数学教学中公式教学的策略探讨

曹亚东

(江苏省海门中学 226100)

一、公式教学——在实际情境中发展直观想象

在高中数学教学中，直观想象是学生通过空间形式解决问题的重要数学素养，简单来说就是通过几何直观与空间想象来对事物的形态和变化进行感知，是发现问题、提出问题、分析问题以及解决问题的重要手段，将其应用于公式教学中，有利于培养学生的论证思维和推理思维.例如，在人教版高中数学教材《三角函数》中，教师可以利用学生比较熟悉的摩天轮来展开相关教学活动，展示相关图形，让学生发散思维，分组讨论和思考摩天轮的点与地面距离应当如何进行表示.学生利用图形的特点建立起直角坐标系，同时对摩天轮上的点到地面的距离利用三角函数的定义来列举公式，即h=9+8sinα.这种从实际出发来创设情境的教学，不仅能够有效地激发出学生的学习热情，同时也能够帮助学生用数学公式来表达问题，从而使学生能够更为深入地了解到三角函数的知识点，并且使其懂得利用知识点来刻画相关周期现象.

教师可以进一步地提出问题进行引导，比如：“在这个公式中，如果角α等于150°，那么应当如何计算点P到地面的距离？”学生通过对图形进行观察，能够发现角150°与角30°的终边关于y轴对称，也就是说150°与角30°的终边与单位圆的交点纵坐标相等，因此两个角的正弦是相等的.有了这个基础，学生便能够很轻松地算出点P到地面的距离.教师在对学生进行引导时，应当侧重于图形的观察，让学生能够察觉到单位圆交点与互补角的终边是位于同一水平线，地面与两点之间的距离相等，最终得出结论，即其正弦值相等，这种教学方法能够牢牢抓住诱导公式这一教学本质，通过教学模型来得出结论能够使得学生更为直观地了解公式，进而促使学生更为灵活地应用三角函数的诱导公式.

二、公式教学——在公式应用中发展运算能力

数学运算能力是通过运算法则来解决数学问题的能力，其前提条件便是能够对运算对象有着明晰的认识，这也是高中数学里，学生必须要掌握的数学素养，其主要内容包括对运算对象的深入理解、运算法则的掌握程度、运算思路的清晰明确、运算方法的合理选择、运算程序的科学设计以及运算结果的正确求得等，是解决数学问题的基础所在.以人教版高中数学教材《三角函数》为例，“当旋转角α分别等于-240°和495°时，摩天轮上的点P到地面的距离为多少？”在对该问题进行计算时，教师应当引导学生将诱导公式运用其中，使得负角诱使为正角，大角诱使为小角，同时将未知角转化为已知角，通过诱导公式来解决问题.总结概括起来便是“负化正，大化小，化到锐角为终了”.在这一过程中，学生经历了运算对象的分析、运算方向的推断、运算规则的选择、运算结果的计算与判断等.这种公式教学能够有效地提升学生的数学运算能力，使其能够经历“具体——抽象——具体”这一过程，使其能够有效地构建其新的知识体系.

在高中数学教学中，所有的教学过程都可以概括为从具体到抽象再到具体，在“具体——抽象”中，是学生汲取新知识与构建知识体系的过程，而在“抽象——具体”中，是学生通过已学知识和已知方法来解决相关问题的过程.而这个过程在进行时，会使学生经历一系列的数学运算法则，使其能够具体地运用公式来解决相对应的问题.通过诱导公式来总结步骤与方法，有利于加深对数学本质的领悟，对学生数学运算能力的发展有着积极作用.

三、公式教学——在公式探究中发展数学抽象

通过对数量关系与空间形式的抽象来获取数学研究对象，这种数学素养便是数学抽象，该素养是高中数学的核心素养之一，是学生形成理性事物的基础所在，同时也能够反映出数学的本质特征，而公式教学则是能够很好地培养学生的数学抽象.依旧以人教版高中数学教材《三角函数》为例，在学生得出相关公式后，教师可以继续提出相关问题：“终边关于y轴对称的角的正弦是否都相等？为什么？除了正弦相等，余弦与正切之间又存在什么关系？”教师同样分组让学生进行小组内的探究讨论，学生在对图形特点进行仔细观察后，通过小组之间的合作交流与数形结合的方法，推导出诱导公式2，之后让小组派出代表来对诱导公式所经历的思维过程进行概括，教师做出总结，最终得出诱导公式的思维过程，即角的关系到对称关系再到坐标关系，最后到函数关系.这种方法能够帮助学生了解如何去学数学，同时有助于培养学生及时反思与总结的良好习惯.

继而教师可以利用对称关系入手，来引导学生学会纵向思考：“两角终边处理纵轴对称之外，是否还存在其它对称关系？其类似的公式又是什么？”学生通过对原点对称和横轴对称的角的三角函数关系探究，能够得出诱导公式3和诱导公式4.这样的教学方法能够将教学重点突显出来，有利于促进学生的自主探究的能力，通过图形的观察到公式的猜想再到推理的证明，能够使学生的感性认知转变为理性认知，有助于学生数学抽象素养的提升.

四、公式教学——在公式变形中升华知识体系

通过上述过程后，学生能够对数学公式有着一定的认识，但难以将其灵活运用，无法做到举一反三，而公式的应用于呈现方式是灵活多变的，这就需要教师通过公式变形来强化学生的知识体系.例如，在人教版高中数学教材《三角函数》中，教师可以引导学生用数学对象来替代公式中的元素和符合，在传授三角函数的二倍角公式“sin2α=2sinαcosα”时，教师需得让学生真正了解到二倍角公式的形式不单单只是“2α是α的二倍”，同时还可以在其它形式中应用二倍角公式，包括“α/2是α/4的二倍”；“α/3是α/6的二倍”；“4α是2α的二倍”；“3α是3α/2的二倍”等.

因此，在进行公式教学时，教师需要让学生理解公式的相关含义，在二倍角公式中，其含义便是“当α/β=2时，α便是β的二倍角，只有问题中的关系符合二倍角，则都可以将二倍角公式应用其中”.除此之外，三角函数的二倍角公式“cos2α=cos2α-sin2α”能够转变为“cos2α=1-2sin2α”或者“cos2α=2sin2α-1”.将这些公式灵活应用到实际解题当中，能够帮助学生更快地解题，有益于学生实现事半功倍的学习效率.教师通过公式的变形、公式的逆用或者迁移训练，能够使学生内化对数学公式的理解程度，通过这种举一反三的教学形式，有利于学生公式的灵活应用，使其知识结构与体系德育升华.

简而言之，在高中数学中，公式教学的应用是否有效，对学生的数学素养、思维与能力有着非常大的影响，学生只有真正掌握了数学公式，才能够对所学知识的本质有一个清晰的认知.因此，在高中数学课堂中，教师应当以数学公式教学为载体来提高学生的解题质量与效率，有助于学生数学素养的全面发展.