追根溯源，把握数学本质

陈云妮

一、引言

对数是高中数学必修1（人教A版·2019年）中第四章第三节的内容，其概念及运算是后续学习对数函數的基础。对数函数作为高中函数重点内容之一，也是学生在学习中感到最抽象的函数模型。追其原因，是在对数概念学习之初，教师没有对对数因何而来，来之为何做较为形象的引导。而是纯理论式的讲授，这无形中将对数束之高阁，给予学生刻板的抽象印象。加强对数概念的理解是学生掌握对数函数的第一步，也是最为关键的一步。因此，关注对数概念形成背景和发展历程是教师提高对数函数教学效果的可行之举。

二、基于“追根溯源”式的教学设计片段

1.创设情境

问题1：大家学习历史对文艺复兴时期了解多少？这个时期有什么特征？

教师设计问题引导学生对文艺复兴时期的社会背景进行简单的交流后，给予学生肯定并由此引入小故事：

文艺复兴时期，人们的思想意识上的觉醒，天文学、航海、工程等快速发展。当时哥白尼“太阳中心说”开始风靡，人们对于天文学的关注越加活跃。但是那个年代没有计算机，数学也没有像现在一般发展，人们对于计算多位数之间的乘积还处在十分繁杂的阶段。

俗话说天文数字，如：计算北极星与地球的距离（单位：米）  （光速） （一年的总秒数） ，太阳光到地球需要的时间  （地日距离） 等等，天文学的研究不可避免的会遇上大量精密又庞大的天文数值的计算，以致于天文学家不得不将大量宝贵的时间和精力花费在纯数学的计算上，而不是天体的研究上，这也大大的限制了天文学的发展。所以，寻求简化计算的方法是当时天文学家急需解决的问题。当时，正好有一位天文学爱好者纳皮尔，他通过20年的研究发现了一种可将乘除计算化为加减的方法，这一方法的发现引起了社会的沸腾，大大的节省了天文学家研究中的劳力，也加快了天文学的发展，此后不久天文家就发现了海王星、确定哈雷彗星及其回归的时间。这种巧妙的方法便是今天我们要学习的对数。何为对数呢？我们一下思考下列问题：

问题2：由指数幂运算可知 那么 呢？又该如何表示呢？

2.概念的形成

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。

问题3：那么如何理解对数这一个概念呢？

一方面从求解方程的角度出发，例如方程： ，为了求解方程中的未知数 ，数学中规定了除法，并用分数符号去表示，即 。类似的，对数即是为了求解如 这一类方程中指数 的问题，类比求解 方程的过程，数学家们需要规定出一种新的运算，并用新的符号去表示，即 。因此，对数 不仅是一种运算符号，表示求解方程 的一种运算，如 ;同时它也表示一个具体的数，如 。另一方面，从运算的角度出发，求解方程 可以表示为 ，这体现了乘法与除法为互逆运算;类似的，指数式方程 的求解表示为 ，同样也突出幂运算的逆运算为对数运算。这也体现了指数式与对数式之间有一种特别的关系，它们究竟有什么关系呢？后续学习，我们再一起探究。

那么，当时的纳皮尔是如何用对数将乘除化为加减运算的呢？下面我们一起来体验。

3.探究体验

当时由于常量数学的局限性，数学家们会优先制作真数与对数的对应表如下表：

为什么数学家们这样制作真数与对数的对应表呢？这是由于常量数学的局限性，数学家也不例外，可见思维定势在数学发现中常会成为阻碍因素，同学们要敢于突破定势呀！

欲求 ，纳皮尔先查表找出32和128所对应的指数为5和7，而后求 ，最后从表格中读出12所对应的幂为4096，即有： 原本想求 的乘积，竟可以巧妙的转化为求5+7的值，并通过查表得到结果，将当时大家认为繁杂的乘积运算问题转化为了简单的加法运算。这便是对数运算的精华所在，也是对数作为一种计算方法具有的优越性。那么，这个过程中的5和7究竟有何意义呢？细心的同学会发现：5和7实质上分别是 两个式子中 的值，即 。32和128即是我们“真正要计算的数”，但是却通过5和7的加法运算而求得，因此在对数 中，32和128称之为“真数”，这便是在对数定义中 ，为何将 称为“真数”原因。在计算机成为常规工具、数学获得空前发展的今天，我们可不再依赖查对数表求对数，一般的计算器都有求对数的功能，请同学们回家探索一下用计算器求对数的方法。

那我们该如何运用对数进行计算呢？

三、分析与总结

上述是基于“追根溯源”式对数概念的引入教学设计片段展示，将对数形成的背景和发展过程以小故事的形式融入课堂教学中，一方面不仅可以增加课堂的趣味性、培养学生学习兴趣，而且还体现了数学的发展源于社会进步的需要，最终回归到实际中，服务于人们的生产生活，展示了数学的广泛应用性，有利于帮助学生突破新概念抽象的壁垒;另一方面，新概念产生之初，最先形成发展的部分，即是最精华的部分，也是人们学习过程中需要突破的要点之一。追溯新概念形成的根源，宛如赏析诗歌一般，如若只是单纯的插入式的翻译解析，不交待它的时代背景和诗人当时的处境，是无法领悟到诗词中蕴涵的情怀和真谛。数学新概念的学习亦是如此，追溯它的根源，增强学生对新知识来源的了解，有利于学生更加准确的把握概念。此外，在新概念的学习中，作为教师的我们需要有更广的视野，我们可以追寻数学发展中其他具有类似逻辑关系并且熟悉的概念的发展史，从已知出发更好的帮助学生把握新概念的本质。

本文系天津市教学成果奖重点培育项目（项目类别高等教育）“课程思政视域下的‘中学数学教学设计课程教学改革实践”研究的过程性成果，项目批准号：PYGJ-013。