解析证明四色定理

摘  要：严格定义邻居，通过讨论邻居环中邻居总数的奇偶性，得出四色定理。

关键词：四色定理，四色问题，四色猜想，格斯里（Francis Guthrie）。

1.地图着色原则：

接壤的两个区域不同色，这里的接壤是共同拥有边界线，而不是点。

这里的地图，是平面上的，或是球面上的，不考虑其它情形。

2.问题的提出：

1852年，毕业于伦敦大学的格斯里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了自己的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

3.计算机证明：

1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台计算机上，用了1200个小时，作了100亿个判断结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。

4.论据不充分：

计算机证明虽然做了百亿个判断，终究只是在庞大的数量上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

5.猜想：

地图着色四色足够。

6.地图着色法：

①关注一个区域（本区）着A色。

多个区域交于一点，本区为点，不著色。

②检查有没有与本区多次接壤的区域（复邻）。

如果没有复邻，都是单邻，就用B色C色交替着色。

如果有复邻，先把它当做单邻处理，（被它扣住的区域以后处理）。

③顺色邻居之一着D色。

④复邻内区域，用本区和复邻颜色以外的二色交替着色。

嵌套的复邻，逐层扒皮。

⑤关注下一个区域（已着色的边缘区域做新的本区）

7.定义：

本区：关注的区域。

复邻：与本区接壤多次的区域（两次接壤之间有独立的区域）。

嵌套：多层复邻。

复邻体：复邻及其与本区之间区域的总和。

邻居：与本区接壤且不被复邻扣住的区域。

单邻：与本区接壤一次的邻居（哪怕它包围了本区）。

邻居环：所有邻居组成的环，首尾相接。

偶数环：偶数个邻居的邻居环。

奇数环：奇数个邻居的邻居环。

邻居链：整段邻居组成的链，首尾不接。

本区集团：本区及所有邻居的总和。

8.证明：

邻居链着色二色足够。

∵邻居链首尾不接，不受顺色制约，

∴二色交替即可，二色足够。

复邻体着色三色足够。

∵复邻内的区域只能是邻居链，

∴复邻内区域着色二色足够。再加复邻一色，复邻体着色三色足够。

邻居环着色（邻居总数>1时）：

偶数环着色二色足够。

∵偶数环的首尾奇偶性不同，

∴奇偶不同色即可，二色足够。

奇数环着色三色足够。

∵奇数环的首尾奇偶性相同，

∴奇偶不同色到扣环时首尾顺色，必须且仅需第三色介入。

∴奇数环着色三色足够。

∵所有邻居着色三色足够，再加本区一色，

∴本区集团着色四色足够。

∵本区是在地图上任选的，

∴地图着色四色足够。

9.结论：

四色定理成立。

参考文献

[1]  网络-四色定理-百度百科。

作者简介：张奎福，（1962.12-），男，汉族，吉林省松原市长岭县巨宝山镇，1962年12月，数论，中专，吉林银行学校，从事数论研究。