三阶幻方中的数字计算

蔺学益

相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，把“洛书”中的数填在对应的九宫格内，就是三阶幻方，

幻方是一种智力填数游戏，它是根据事先提供的数，运用逻辑推理的思维方法和排除法，把数填入空白的方格中.中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家，

三阶幻方是最简单的幻方，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数组成的九宫格（如图1所示），其对角線、横行、纵列上三个数的和都为15，我们称这个最简单的幻方的幻和为15.中心数为5.

三阶幻方在中小学数学教科书中都有所体现.那么，这里的“其对角线、横行、纵列上三个数的和都为15”“中心数为5”隐含着怎样的数学计算呢？

我们先来说“其对角线、横行、纵列上三个数的和都为15”中的“和为15”

如图2所示，我们设每个格子的未知数分别为x1至x9，从中选取横行（或者纵列）来分析，那么有：

x1+x2+x3=S;

x4+x5+x6=S;

x7+x8+x9=S.

三个式子相加，则有：

3S=x1 +x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9.

因为xl至x9 -定是1至9这九个数，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=45.

由3S=45.得到S=15.

由每个横行上三个数的和都是15，同理可推得每个纵列和对角线上三个数的和都是15.

再来说“中心数为5”，我们选择中间的横行、中间的纵列和两个对角线上的三个数之和，由于S=15，则有：

x4+x5 +x6 =15，x2 +x5 +x8=15，x1+x5 +x9 =15，X3+X5+X7=15.

四个式子相加，则有：

x1+x2+x3+x4+x5+x 6+x7+x8+x9+3x5=60.

故45+3xs=60，求得x5=5，也就是说“中心数为5”.

这样我们就解释了三阶幻方中的两个值的由来，下面，就可以进行填写这九个数值的操作了，

利用以上两个填写依据，我们来看和为15的八个（三个横行、三个纵列、两个对角线）等式：

1+5+9=15，2+5+8=15;

3+5+7=15，4+5+6=15;

1+6+8=15，2+4+9=15;

2+6+7=15. 3+4+8=15.

这八个等式会出现在三阶幻方中（也只有这八个等式），我们会再次发现有趣的事实：“5”出现了四次，而在九个格子中只有中间格被用了四次，因此“5”就必须在幻方最中间的位置.这样，就再次解释了“中心数为5”的缘由.

另外，“2”“4”“6”“8”四个数在等式中都出现了三次，而在九个格子中只有四个角的格子被用了三次，因此这四个数应放在幻方的四个角中.当然，“2”和“8”在同一等式中，“4”和“6”在同一等式中.

同样地，“1”“3”“7”“9”四个数在等式中都出现了两次，只能将这四个数放在幻方的靠边的四个中间格子中.“1”和“9”在同一等式中，“3”和“7”在同一等式中.

综合以上解释，三阶幻方要满足横行、纵列和对角线上三个数之和等于15，只能将“5”放在最中间的方格中，将“2”“4”“6”“8”放在四个角中，将“1”“3”“7”“9”放在靠边的四个中间格子中.

有了以上更清晰的数的位置填写要求，在兼顾三数之和为15的情况下，会得到八种不同的三阶幻方填法.有兴趣的同学可以自己试着填一下，

通过对三阶幻方的数学计算与填写解释，大家是不是感受到了幻方的魅力呢？探究幻方的奥秘是一件既有趣又有意义的事情，能让大家对数学产生更浓厚的学习兴趣，这也许就是幻方的迷人之所在吧！