基于H∞扩展卡尔曼滤波器模型不确定性的动态状态估计

范 俊

（国网湖北省电力有限公司 荆州供电公司检修分公司，湖北 荆州 434000）

0 引 言

电力系统动态状态变量的准确估计对于监视和控制至关重要。迄今为止，已经提出了各种基于扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）的动态状态估计器（Dynamic State Estimator，DSE）[1-6]。然而，卡尔曼型滤波器需要在某些特定条件下才能很好地工作[7]。首先需要知道每个时刻系统过程噪声和观测噪声的均值和相关性，其次应该知道系统的过程噪声和观测噪声的协方差，最后系统的离散时间非线性状态空间模型要是准确的。但是，由于实际的电力系统难以获得系统过程噪声和观测噪声的统计信息，因此假设可能不成立，此外系统模型的某些参数或输入可能是未知的，状态估计结果会大大恶化。

尽管H∞滤波器已广泛应用于控制和信号处理中，但在实现动态状态估计器时，尚未将其应用到电力系统模型不确定性中。本文提出了一种基于鲁棒控制理论的H∞扩展卡尔曼滤波器来约束系统不确定性的影响以及调整HEKF参数的方法，并基于IEEE-39节点标准系统的仿真结果证明了HEKF的有效性。

1 H∞扩展卡尔曼滤波方法

1.1 问题描述

对于电力系统，其离散时间状态空间表达式可以表示为：

式中，xk是状态矢量，其中包括同步发电机、励磁机以及调速器的状态变量；zk是包含电压相量、电流相量以及无功功率的测量向量；ωk和vk是系统过程噪声和观察噪声，并假设它们是零均值和协方差矩阵为Qk和Rk的正态分布；uk是系统输入向量；f(·)为预测向量函数；h(·)为量测函数。

为了估计xk，可以使用EKF和UKF，假设过程噪声和观察噪声的协方差矩阵Qk和Rk是已知的，系统的输入uk和发电机参数准确且已知，则EKF和UKF可以良好工作，然而由于发电机参数存在不确定性，因此这些假设很难成立。例如，由于铁磁饱和的影响，瞬变电抗在不同的运行条件下会发生变化，同时过程噪声和观察噪声的统计数据也难以获得，并且系统输入可能未知，此外系统的非线性可能无法建模，在这些系统不确定性的情况下，EKF和UKF可能会产生明显偏差的估计结果。

1.2 H∞扩展卡尔曼滤波器

为保证估计误差的上限是有限的，并同时最小化该上限，给定直到（包括）时间N-1的测量值、初始状态以及噪声统计信息，设计一个满足以下条件的滤波器：

式中，x0和x^0|0分别是真实的初始状态向量及其估计值；xk和x^k|k分别表示真实状态向量及其估计向量值；P0|0和Pk|k分别是初始协方差矩阵和估计协方差矩阵；γ是限制系统不确定性的正标量参数。

使用式（3）并参考文献[8]中的工作，可以通过以下两个步骤来表示HEKF。

确保协方差矩阵Pk|k-1的正定性，本文提出以系统的方式调整参数γ，具体而言，通过将矩阵求逆引理应用于公式（8），可得到：

由式（10）可知，由于Pk|k是正定的，这就意味着式（10）等式右边的项大于或等于0，因此参数γ需满足：

式中，eig表示求矩阵的特征值。

将参数γ调为最优的方法是：

式中，λ是大于1的正常数，当λ趋于无穷大时，HEKF变为标准EKF，因此可以将λ视为在H无限性能和最小方差性能之间进行权衡的调整参数。通过大量仿真可以发现，只要选择的λ不是很大，那么HEKF始终会获得良好的性能。在电力系统DSE中，λ的建议值在1～10变化。

2 算例仿真与分析

基于图1所示的IEEE-39节点标准系统评估本文所提基于H∞扩展卡尔曼滤波器的模型不确定性动态状态估计方法，以验证所提出的HEKF用于估计系统动态状态变量的性能[9]。具有IEEE DC1A激励的TGOV1涡轮调速器用于每个发电机的9阶两轴模型，每台发电机状态变量数的总和为90个。Att=0.5 s，将连接节点15到节点16的传输线关闭以模拟系统干扰。时域仿真结果取真实值，测量矢量包含所有发电机终端的注入有功功率和无功功率，以及电压幅值和角度。

图1 IEEE-39节点标准系统结构图

PMU采样速率为每秒50个样本，假设系统过程噪声和观测噪声均具有零均值和方差等于10-6的随机高斯噪声，λ设置为2。将误差为5%的预扰动稳态值用作初始状态，考虑以下两种情况，并使用估计状态变量的均方根误差进行说明。

情况1，由于系统运行条件的变化，发电机的瞬态电抗发生变化，不确定性被认为是15%～20%[5]。情况2，系统过程和测量噪声未知，它们的方差设置为10-4，而真实值为10-6。为正确合理评估HEKF算法，使用均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）作为估计性能的评价指标。在k时刻，第k断面的RMSE计算公式如下：

式中，表示k时刻估计值的第i个分量；xk,i表示k时刻真实值的第i个分量；n表示状态量个数；RMSE(k)、RMSE,max和RMSE,mean分别表示第k断面的均方根误差、系统最大均方根误差以及系统平均均方根误差；max表示取最大值；mean表示取均值。

对以上两种仿真情况分别使用EKF、UKF以及本文所提HEKF算法进行仿真，仿真结果如表1和表2所示。

表1 IEEE-39节点标准系统情况1时均方根误差结果

表2 IEEE-39节点标准系统情况2时均方根误差结果

由表1和表2的仿真结果可知，在情况1时EKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.007 3和0.003 5，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.030 9和0.009 7，均为最大。UKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.004 1和0.002 7，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.010 7和0.005 8，均小于EKF算法，而大于HEKF算法。HEKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.005 1和0.000 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.0087和0.002 6，均为最小。在情况2时EKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.007 5和0.003 8，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.029 6和0.006 8，也均为最大。UKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.004 7和0.002 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.015 7和0.004 7，也均小于EKF算法，而大于HEKF算法。HEKF算法的电压的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.002 3和0.001 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分别为0.008 9和0.001 5，也均为最小。可以看出，无论是在情况1还是在情况2，无论是对于电压还是对于相角，本文所提HEKF算法指标均最小，结果最好。

3 结 论

由于电力系统动力学模型会受到各种不确定性的影响，如在不同运行条件下变化的发电机瞬态电抗、不确定的输入以及噪声统计数据等，因此卡尔曼型滤波器的性能会大大降低。为限制这些参数不确定性的影响，本文提出了一种基于鲁棒控制理论的H∞扩展卡尔曼滤波器以及调整HEKF参数的方法。该方法能够有效利用调优参数实现对各种不确定性参数的滤波处理。此外，基于IEEE-39节点标准系统对本文所提HEKF算法进行仿真分析，仿真结果表明，所提方法能够有效限制系统参数不确定性的影响，得到最优估计结果。