高中数学复习课教学策略研究——以直线与圆相切问题为例

江苏省昆山震川高级中学 赵静茹

高中数学学习由于知识体量大，方法多样，学生在新课学习后常常会有知识方法零碎繁多的感受，因此复习课十分重要。高中数学教学内容安排整体是螺旋上升、分层递进的，在一段新课学习后需要对知识进行条理化、综合化、系统化的整理，使学生对知识加深理解、牢固掌握、灵活运用。复习阶段，每节课的教学设计与新授课是不同的，基础知识已然学过，部分学生对复习课的兴趣比新授课低，如何将复习课设计得既有内容又有深度，是教师在备课时应该思考的内容。复习课要有利于建构知识结构，提示知识之间内在的、本质的、必然的联系，从纵、横两方面加深对知识的理解，弥补学习上的缺陷，减少记忆负担，防止遗忘，促进学生认知结构的形成和完善，与此同时，促进学生逐步形成正确的价值观念、必备品格和关键能力。笔者借助解析几何中“直线与圆位置关系”一节的复习课，例谈高中数学复习课教学策略。

一、教学背景概述

在直线与方程、圆与方程两节内容学完后，针对高一学生的学情和特点，笔者设计了一节专题复习，将直线与圆中的经典问题进行整理和分析，把常见方法和解题思路嵌入简化的题目，关注重点，引导学生梳理直线与圆的知识和方法，引导学生学会归纳和整理典型例题的方法，促使学生从“学会”到“会学”的转变。

二、教学设计分析

笔者将典型例题挑选出来并重新整合，将直线与圆相切问题归结为两大类：定与不定。其中常见的、高频的动切线问题整合到一道题目中，涵盖了“最值问题、存在性问题、轨迹问题”等，自编题目，强调“化动为静”的思想方法。

1.基础梳理

基础知识包括直线的方程、圆的方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。本节内容“直线与圆的位置关系”有几个典型的模型，包括“相切模型”“相交模型”等，涉及切线长、弦长，同时复习和回顾直线与圆的位置关系的基本知识，在此过程中发展学生的逻辑推理、直观想象的核心素养。特别需要指出的是，学生对于已有的学习材料、例题进行归纳整理，分析总结出有价值的方法、模型的过程，事实上培养了学生数据分析的数学核心素养，这对于促进学生学会学习具有重要意义。

2.典例精讲

题型1：求切线方程

学生总结：过不同的点A可作圆O的切线条数。

基础但是易错的点在于学生会忽略斜率不存在的讨论，另外，本题引出学生对于题目中已知点与圆的位置关系的预判断，提供一种做这一类题的策略，这对于复习课来讲十分重要。当然，该例题不仅是针对这一类求切线方程的题目，更渗透了深层次的做题经验，引导学生“会学”而非仅“学会”，感受站在更高一层看待问题，抽象出数学问题本质，从而发展学生数学抽象、直观想象的数学核心素养。

题型2：动切线问题（覆盖最值问题、切线角问题、定点问题、轨迹问题）

已知直线l：x-y+4=0 和圆O：x2+y2=4，P是直线l上的一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为M、N。

题干信息清晰、简洁，略去多数题目中较为复杂的背景，关注本质。

（1）若PM⊥PN，求点P的坐标。

该问从一个特殊位置出发，让学生感受直线与圆问题的常见转化，即转化为P到圆心的距离与半径的关系上。目的是为后面研究“动”的问题提供一个“静”的实例，从而帮助学生理解“化动为静”的作用，注重由特殊到一般思想方法的渗透，发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象的数学核心素养。

（2）求PM的最小值。

该问在（1）的“静”的问题的基础上进一步升华，研究“动”切线长的最值，需要学生感受动态变化过程中，动切线长可以转化为动点P到圆心的距离与半径的表达式，从（1）的定的问题变为动态情况下的最值问题，但其本质的直线与圆问题转化模型并没有变，体现了循序渐进、逐步深入的特点，过程中有利于发展学生直观想象、数学抽象的数学核心素养，同时强化动态背景下最值问题的研究方法，即转化的思想方法。

（3）求四边形ONPM面积的最小值。

该问与（2）同为“动”的问题，但进一步深化，由切线长的动态变化最值变为四边形面积的动态变化最值，这里涉及解决面积问题常用技巧，将四边形切割成等面积的两个三角形计算其面积，最终将问题仍然化归到切线长的最值问题，再次突出了直线与圆问题的常见转化，化动为静，将各几何元素往直线与圆的位置关系上转化，本质仍然是直线与圆问题转化模型，但更为深入，有利于引导学生总结做题技巧，把握问题本质，关注转化的思想方法，有利于发展学生直观想象的数学核心素养。

该问在（2）（3）的基础上再次深入，也是对最值问题的一个变式，以学生练为主，在教师讲解了前面两种最值问题之后，学生已有了对于直线与圆问题常见转化的意识，从而实现讲练结合、当堂巩固。该问题综合了平面向量的数量积内容，在复习回顾向量的同时，不忘直线与圆问题的转化，体现了高中数学知识学习的螺旋上升、分层递进的特点，突出了高中数学知识之间的有机联系，建立起数学知识的整体观。

（5）若圆O上存在点A、B，使∠APB=60°，求点P的横坐标取值范围。

该问在（2）动切线长的基础上进一步升华，变为动切线夹角的存在性问题，仍然是“动”的问题，但由原来的单动切线转变为双动切线，需要一定的转化技巧，包括两切线夹角转化为一条切线与PC夹角的两倍。另外，存在性的一类问题仍然可转化为最值问题，但需要一定思维能力，将存在性问题转化为最值问题，需要有寻找临界状态的想法，并理解如何转化成最值，是最大值还是最小值，具备一定难度，也是直线与圆部分中的一类典型问题。在前面几例问题引入后，仍需给学生足够的思考时间，可学生间互动探讨、交流沟通，从而培养学生数学学习的探究与合作精神。

（6）MN所在直线是否经过定点？若经过定点，求出该定点；若不经过，说明理由。

该问涉及动直线的定点问题，需要借助直线与圆相切模型，寻找出四点共圆，且该圆以PC为直径，从而得到MN所在直线即为该圆与已知圆公共弦问题的结论，最终求解出动直线MN的定点。该问仍然需要建立在学生熟悉对直线与圆问题进行转化的基础上，同时综合了定点问题，是直线与圆的综合运用。本问中突出强调数形结合的思想方法，几何与代数结合得到本题的最优解，发展了学生的数学运算、直观想象、数学抽象的数学核心素养。

（7）已知Q（2，0），求证：圆O上存在点P，使PQ=2PM。

本题主要考查了“隐形轨迹”问题，在前面直线与圆切线长转化问题的铺垫下，学生有了将PQ切线长转化到关于PC关系式上的意识。接下来是一类常见题型“隐形轨迹”问题的考查，学生在平时的做题经验的基础上，可自行总结该类隐形问题的解决方法，引导学生学会自己总结做题经验和归纳方法，培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养。

整题中涵盖了直线与圆相切问题中常考的几种类型，既包含不同解题方法，又包含不同的题型，在一道题干下变化题型，这一做法省去了学生重复审题的步骤，强化了题目本质，强调“化动为静”的思想方法，一题多变，关注本质，淡化题目，使学生能够在做题中体会不同的题目中蕴含的共同的思想方法，举一反三，这在复习课中尤其重要。

3.当堂练习

（1）已知圆x2+y2=9 的圆心为P，点Q（a，b）在圆P外，以PQ为直径作圆M与圆P相交于A，B两点。若QA=QB=4，试问点Q在什么曲线上运动？

（改编自苏教版必修二117 页练习题）

利用圆的性质得到垂直位置关系，转化到相切模型中，进而将切线长转化到与圆心距离的关系上，考查了本节重点内容，加深了学生对于直线与圆位置关系的理解。

（2）已知圆M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为（）。

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

（选自2020 高考数学全国一卷理科数学11 题）

本题较为综合，但没有脱离本节重点，该题涉及的“动点问题”“切线长转化问题”“公共弦问题”等皆在例题中有所铺垫，因此，虽是高考题，但完全符合学生的思维发展，同时，恰当的综合练习有助于学生更好地掌握直线与圆部分的内容，使学生感受知识与方法在复杂情境中的应用，有利于培养学生数学抽象、逻辑推理的数学核心素养。

4.课堂小结

反思以上不同的题目中贯穿始终的本质思想，感受由静态到动态，再由动态到静态的过程，体会其中蕴含的直线与圆中本质的方法和思想，感受数形结合的重要思想方法，生成直线与圆相关问题的知识方法体系，准确应用模型解决问题。

三、复习课教学策略总结

加强日常教学设计，激发学生热情。笔者按照本班学生学习情况和对知识方法的把握，设计这样的“打碎重构”课堂内容，将每节课局部与整体联系起来，让学生能够架构出知识方法网络，融会贯通。教学中要观察学生反应，通过提问、学生板演、小组讨论等方式调动学生积极性，及时进行作业、测试反馈，精心设计教学环节，营造愉快宽松的教学氛围，希望教师能够用自己的教学激发起学生学习的热情，增强学生学习数学的信心和动力。

解题教学中融入数学思维，关注原理，淡化技巧。例题选取和讲评重思维，一道简单题干背景下，一题多变，感受变化的是题目，不变的是思维方法和原理。本堂课中例题剔除了复杂的计算，重视方法和原理，即直线与圆的几何与代数特征，促进学生思考本质。正如数学家波利亚所主张，数学教育的主要目的之一是发展学生解决问题的能力，教会学生思考。

数学教学要实现在帮助学生掌握知识技能的同时，促进其数学核心素养的提升。数学学科核心素养要渗透进教学的各个环节，包括目标设计、情境创设、问题设计、教法选择、课堂评价等，如本例中直线与圆复习课关注培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的数学核心素养，同时强调培养学生自主探索学习方法，引导学生实现由“学会”到“会学”的转变，主动建立起知识方法之间有机联系的知识体系。