利用构造函数思想提高高中生解题能力的教学研究

晏美林

【内容摘要】在现阶段的高中数学教学中，为了全面加强对学生的思维引导，以提高学生的应试技巧和解题能力，要求教师能够加强对学生的方法指导。借助构造函数思想以帮助学生将方程数列、不等式、导数等相应的知识充分联系起来，通过有效的归纳总结，以全面提高学生的解题能力。基于此，本文将着重探究构造函数思想对于提高学生解题能力所带来的积极影响，并提出相应的教学建议以供参考。

【关键词】构造函数思想  高中生  解题能力  策略

引言

在高中数学的学习过程当中，借助构造函数这一思想能够帮助学生全面加强基础知识的学习，提高学生的数学知识应用能力和解题能力。因而在现阶段的高中数学教学过程当中，则需要教师能够科学合理的应用构造函数，为学生营造一个良好的学习环境，调动学生学习的积极性和主动性，帮助学生加强知识的归纳和总结，而通过系统性的教学，将高中数学相应的知识点串联起来，降低学生的学习难度，帮助学生构建相应的思维导图，从而让学生的解题思路能够更加清晰，降低学生的学习难度，以全面提高高中数学的教学效果。

一、在不等式中的应用

構造函数思想可以分成两个部分，一方面是结合具体的问题来构造一个数学模型，从而解决相应的数学问题，另一个部分则是结合数学哲学和算法理论来构造相应的解题方法，利用构造函数的思想能够激发学生的学习兴趣，培养学生的创造性思维，同时让学生在解题的过程中结合具体的数学模型以全面提高其分析问题，解决问题的综合能力。在不等式的教学过程中，为了帮助学生掌握基本不等式，且能够认识基本不等式的运算结构，从而掌握不等式的几何意义和代数意义，学会利用基本不等式来计算相应的题目，培养学生严谨规范的学习能力①。教师可以借助构造函数的思想，引导学生来分析问题。通过构造函数以借助适当的函数，充分利用函数性质来解决相应的数学问题，提高学生的解题能力。例如在柯西不等式的证明中，教师可以引导学生借助二次函数的性质和重要不等式a2+b2≥2|ab|来证明柯西不等式。借助构造函数的思想充分利用等式左边右边恒等变形思想，二次函数的性质，来证明不等式是否成立的问题。与传统的教学方式相比，借助构造函数思想能够帮助学生更进一步加强其前期所学知识的回顾和总结，同时有效降低学生的学习难度，让学生在验证证明的过程中养成自主探索，实践验证的良好习惯，全面提高学生的学习能力和解题能力。在不等式的教学中，除了要帮助学生构建函数思想，还需要教师能够带领学生，以充分发挥学生的潜力，激发学生的探究意识，不断强化基础知识的教学，培养学生的发散性思维，让学生能够学会应用构造函数思想来解决不等式问题。

二、在数列中的应用

将构造函数思想应用到数列的教学中，让学生能够联系其前期所学的知识来学习新的知识。通过有效的知识迁移以全面提高学生的学习效果，构建高效的数学课堂，促进学生的思维发展。数列是高中数学教学的重点和难点，而借助构造函数的思想，帮助学生寻找解决数列问题的突破口，开拓学生的思维，从而提高学生的解题能力。在高中数学数列的学习中常见的有两类题型。第一类则是给定数列的序列来求数列的通项公式，在这一类题目的教学中，教师可以借助构造函数的思想帮助学生确定数列的定义域②。数列作为函数中的一种，在解这类问题时要着重关注数列项数n成立的条件。例如，已知数列{bn}满足bn=b1+b2+b3+…+（n-1）bn-1，其中（n ≥2），求数列的通项公式。结合题目所给定的n个条件，构造相应的函数从而求得通项公式bn的值。另一类的题目则是借助构造函数思想，利用待定系数法和换元法来求数列的通项公式和前n项和公式。在解决这类题目过程中，直接求解起来非常困难，对学生的数学分析能力，逻辑思维能力有着较高的要求。而大部分的学生无法达到要求，而借助构造函数的思想将问题前n项和转换成一元二次函数，从而综合利用换元法来求出最终需要的值。这样的解题方法能够大大降低学生的学习难度，以充分调动学生的思维，让学生在自主探究的过程当中养成良好的思维习惯，从而在面临同类型的题目时，以结合往期所学的知识搭建相应的数学模型，从而帮助学生解决相应的题目，全面提高学生分析问题解决问题的综合能力。例如，已知数列{an}，若S3n-1=3n2+4n+5，求Sn。在本题的解题过程中，教师可以借助构造函数的思想将其转化为f（3n-1）=3n2+4n+5，以此来求f（n）。通过构造函数和换元法来解决相应的数列问题，帮助学生找到问题的切入点，从而带动学生的思维发展，帮助学生构建相应的数学模型，全面提高学生的解题能力。

三、在导数中的应用

在高中数学教学中如何解决导数问题是一个教学的难点。在导数这一部分知识的教学过程中，除了帮助学生加强导数概念的了解之外，还需要加强对实际背景的学习，结合瞬时速度加速度，光滑曲线，切线的斜率等多方面的知识点，使得学生能够生成正确的认识，明确导数的定义和导数的几何意义，并掌握导数的概念。而在实际的考察过程中，除了要求学生能够熟记导数的基本公式之外，还要求学生能够学会导数的应用，即学会应用导数来判断函数的单调性，函数的极值以及函数的最值。由于知识点较多且相对较复杂，因而在实际的教学过程当中，则要求教师能够帮助学生构建相应的数学模型全面加强对学生的思维指导，使得学生在面临同类型的题目过程中能够及时的作出反应，且能够结合往期所学的知识，通过有效的知识迁移，以获得正确的解题方法。例如，在导数的应用中，为了判断函数的单调性，首先要求学生能够恰当的构造函数，构造合适的函数能够有效降低解题的难度，同时有效避免二次求导的现象出现，使得学生的解题思路更加的清晰明了。

构造函数是一个非常的复杂的过程，要求学生能够在看到题目时第一时间作出反应，且能够构造出合适的函数，这就需要学生在学习的过程中能够通过长期的积累和总结，以掌握相应的解题技巧。在实际的教学活动中，教师还需要通过有针对性的训练，不断强化学生的学习过程，全面加强对学生的思维引导，使得学生在学习的过程中能够形成条件反射，在解题的过程中，选择合适的解题方法，科学合理的使用构造函数思想，从而提高其解题的效率和准确性。例如，在函数与图像的解题中，数形结合的方法比构造函数更适用，计算过程也更加直观，而通过特殊转换，加强函数、方程、不等式之间的转换，通过分类讨论，加强整体和局部的分析，使得复杂的问题简单化，提高解题的准确率。

结束语

总之，在高中数学教学中应用构造函数的思想能够简化学生的解题步骤，培养学生的发散性思维，提高学生的思维品质和综合能力。同时，让学生能够学会利用构造函数的思想，将其所学的知识充分联系起来，从而构建适应的思维导图，当在再次面临同类型的题目时，能够形成条件反射，以全面提高学生的解题技巧和解题能力。

【注释】

① 姜雷. 巧结合大作用：函数思想的构造应用[J]. 中学数学教学，2019（1）：58-60.

② 孙宽程. 运用函数与方程思想解决实际问题的研究[J]. 现代盐化工，2019，46（3）：175-176.

（作者单位：江西省上高二中）