点关于直线对称的一个新公式

胡接春

[摘  要] 对于解析几何中常见的点关于线对称问题，有许多研究者给了一些直接计算的公式，如李雪松发表在《数学通讯》的《关于直线对称点的一种求法》;张国治发表在《数学教学》的《点关于直线对称点的简便求法》等. 从点关于特殊直线对称点的简便求法出发，文章从一个全新角度思考这个陈题，得到一个新的计算公式.

[关键词] 点的坐标;对称;旋转;矩阵变换

？摇问题1：求点P（2，3）关于直线y=x-1对称点坐标.

方法一：设P′（x■，y■）为所求对称点，有■=■-1，■=-1，得x■=4，y■=1，从而对称点P′（4，1）.

方法二：x=2代入y=x-1有y=1，是对称点纵坐标;y=3代入y=x-1有x=4，是对称点横坐标，故对称点为P′（4，1）.

分析：方法二是将P（2，3）的横坐标代入y=x-1得对称点纵坐标，将P（2，3）的纵坐标代入y=x-1得对称点横坐标. 如图1，四边形PAP′B是矩形，且y=x-1恰好是对角线所在的直线. 又∠ABP′=45°，所以PAP′B是正方形，从而PP′垂直平分AB，即P与P′关于直线AB对称.本题中，因为直线y=x-1的斜率为1，倾斜角为45°，从而能得出PAP′B是正方形，P与P′恰好对称;类似的，当倾斜角为135°时，如，求点P（2，3）关于直线y=-x-1对称点坐标时，用这个方法，很快得出答案P′（-4，-3）.

？摇？摇事实上，也只有求点关于斜率为±1的直线的对称点时，能用上述快捷算法，当斜率不是±1，只能用上述方法一.笔者觉得通过坐标系旋转，将斜率不是±1直线旋转成新坐标系下斜率为±1的直线，然后用上述方法得到新坐标系下对称点的坐标，再通过坐标逆旋转成旧坐标系下的所求点的对称点坐标.

问题2：求点P（2，3）关于直线y=3x对称点坐标.

解：y=3x的斜率为3，令tanθ=3，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■，由正交变换可得变换矩阵为A=cosθ-■  -sinθ-■sinθ-■   cosθ-■，故点P（2，3）在新坐标系下的点P■坐标为（2，3）·cosθ-■  -sinθ-■sinθ-■   cosθ-■，而直线y=3x在新坐标系下方程为y=x，由问题1的解答，易知对称点P■坐标为（2，3）·-sinθ-■  cosθ-■cosθ-■   sinθ-■，易知，此正交变换的逆矩阵为A-1=cosθ-■  sinθ-■-sinθ-■ cosθ-■，将P■还原到旧坐标系下，得到P′坐标为（2，3）·-sinθ-■  cosθ-■cosθ-■   sinθ-■·cosθ-■   sinθ-■-sinθ-■  cosθ-■，化简得（2，3）·cos2θ  sin2θsin2θ -cos2θ. 由tanθ=3，有cos2θ= -■，sin2θ=■，所以P′坐標为（2，3）·-■  ■■   ■=■，■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果是正确的.

问题3：求点P（2，3）关于直线y=3x+5对称点坐标.

解：直线y=3x+5的斜率为3，令tanθ=3，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■，由正交变换可得变换矩阵为A=cosθ-■  -sinθ-■sinθ-■   cosθ-■，直线y=3x+5的特殊点（0，5）化为（0，5）·cosθ-■  -sinθ-■sinθ-■   cosθ-■=5sinθ-■，5cosθ-■，新坐标系下，直线方程为y-5cosθ-■=x-5sinθ-■，化为y=x-5sinθ-■+5cosθ-■，点P为（2，3）·cosθ-■  -sinθ-■sinθ-■   cosθ-■，对称点为（2，3）·-sinθ-■  cosθ-■cosθ-■   sinθ-■+5sinθ-■-5cosθ-■，5cosθ-■-5sinθ-■，还原到原坐标系下（2，3）·-sinθ-■  cosθ-■cosθ-■   sinθ-■+5sinθ-■-5cosθ-■，5cosθ-■-5sinθ-■·cosθ-■  sinθ-■-sinθ-■ cosθ-■=（2，3）·cos2θ   sin2θsin2θ  -cos2θ+[-5sin2θ，5+5cos2θ]=（2，3）·-■ ■■  ■+-5×■，5-5×■=-■，■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果也是正确的.

下面我们来试试最一般的情况：

问题4：求点P（m，n）关于直线y=kx+b对称点坐标.

解：y=kx+b的斜率为k，令tanθ=k，易知sin2θ=■，cos2θ=■，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■（当θ小于■时，就绕原点顺时针旋转■-θ），类似于问题3的推导，对称点为=（m，n）·cos2θ  sin2θsin2θ -cos2θ+[-bsin2θ，b+bcos2θ]=（m，n）·■  ■■  ■+-■，b+■=■，■=m-■，n+■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果也是正确的. 这个结论与《数学教学》2012年第10期的张国治的《点关于直线对称点的简便求法》的结果一致.

问题5：求点P（m，n）关于直线Ax+By+C=0（B≠0）的对称点坐标.

解：由问题4，将k=-■，b=-■代入公式，得结论■

■. 这个结论与《数学通讯》2003年第6期的李雪松的《关于直线对称点的一种求法》的结果一致.