基于不同优化准则的民机零部件块更新策略

张春晓，李 强，罗 倩

（中国民航大学理学院，天津 300300）

国际民航组织通过对航空公司运营成本统计[1]分析发现，飞机维修成本是直接运营成本的10%～20%，是其购买价格的50%～120%。近年来，随着中国民用大飞机的自行研制成功并即将投入运营，如何在缺乏历史运营数据的情况下，基于成本最小化寻求新型飞机零部件的最优维修更新策略，是目前大飞机制造和运营单位亟待解决的重要课题。

对于复杂的民用飞机系统维修问题，航空公司通常采用预防性维修更新策略。块更新策略是常用的预防性更新策略之一，规定零部件在发生故障时或到计划时间点进行更换。1965年，Barlow 等[2]首先提出了块更新策略的基本模型；Tango[3]考虑零件使用的可靠度，修正了块更新基本模型；Sheu 等[4-5]针对多部件组成的系统研究了带有小修和随机维修费用的块更新策略，2002年又扩展了带有库存模型的二手零件块更新策略。

经典的块更新策略大都将零件寿命假定为随机变量，基于概率论获取零部件的寿命分布，但由于缺乏新研制民机零部件寿命的历史运营数据，只能邀请民航业内专家大致估计零件的寿命。然而专家的主观信度差异远远大于频率的变化。为了解决这类问题，Liu[6]创立了不确定理论，其中不确定变量被定义为不确定空间的可测函数，使用不确定测度分布来描述，并对不确定变量提出不确定更新过程、不确定延迟更新过程、不确定更新报酬过程和不确定交替更新过程。同时，Liu[7]又提出了不确定规划理论，可解决包含不确定变量的优化问题。

近期有相关学者在成本优化条件下，应用不确定理论解决了设备零部件的更新问题。Zhang 等[8-9]给出不确定块更新策略，即一个零部件总是在固定时间而不是故障时更换，同时又考虑了由腐蚀引起失效的飞机结构件的不确定（N，T）块更新策略，其中，决策变量N 表示周期性检测次数，T 表示检测周期长度；Ke等[10]提出了不确定块更新基本策略，其中零部件寿命为服从常规分布的不确定变量。

由于缺乏新型飞机零部件的实际运营数据，所以将其寿命假设为不确定变量。同时考虑到民航企业在飞机零部件实际采购决策中，由于某些零部件的单价过高或航材库存储量有限，通常对零部件的库存设定一个最大容限值。

为了应对决策者可能面对的不同优化需求，引入3 种不同的优化准则来构建带有库存容限值的不确定块更新模型，分别是期望值、机会值和关键值模型，以期获得新型飞机零部件最优的计划更新时间，可为新型飞机使用单位制定科学的零部件维修策略提供技术支持。

1 预备知识

涉及的不确定理论基础知识[6，11]如下。

定义1 设ξ 是一个从不确定空间（Γ，L，M）到实数集的函数，如果对于任意的Borel 集B，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ（γ）∈B}是一个事件，则称ξ 是一个不确定变量。

定义2 设ξ 是一个不确定变量，则函数Φ（x）=M{ξ≤x}称为ξ 的不确定分布。

定义3 设ξ 是一个不确定变量，其不确定分布为Φ，则反函数Φ-1（α）称为ξ 的不确定逆分布。

定理1 设ξ 是一个不确定变量，f（ξ）和g（ξ）的不确定分布分别为Φ 和Ψ，则f（ξ）+g（ξ）的逆分布为Φ-1（α）+Ψ-1（α）。

定义4 设ξ 是一个不确定变量，如果以下两个积分至少有一个是有限的，那么ξ 的期望值定义为

定理2 设ξ 是一个不确定变量，其不确定分布为Φ。如果E（ξ）存在，则

定理3 设ξ 是一个不确定变量，其不确定分布为Φ。f（x）是严格单调（单增或单减）函数，如果E[f（x）]存在，那么

定理4 设f 和g 为同单调函数，则对于任意ξ，都有

定义5 设ξ1，ξ2，…是一列正的独立同分布不确定变量。记S0=0，Sn=ξ1+ξ2+…+ξn，则不确定过程Nt={n|Sn≤t}称为不确定更新过程。

2 模型构建

由于新型飞机零部件缺少样本数据，且存在价格过高或仓库容量有限等问题，引入库存容限值，将零件寿命假定为不确定变量，建立以成本最小化为优化目标，寻求最佳更新周期的新型飞机零部件不确定块更新模型。

为便于构建模型，首先引入以下记号：T 表示块更新周期长度，为决策变量；K 表示库存容限值；ξi（i=1，2，…）表示第i 个零部件寿命，为不确定变量，其分布为Φ（x）；NT表示一个块更新周期T 内更换的零件个数，为一个不确定更新过程，其分布为γ（x）；c1表示在T 时刻前对故障零件的单位更新成本；c2表示在T时刻对零件的单位更新成本，且0 ＜c2＜c1；c3表示对超过库存容限值K 的零部件紧急采购而产生的附加单位成本。

利用以上符号，整个块更新周期内的总成本可表示为

其中

则一个周期T 内平均更新成本为

当NT≤K 时，式（2）退化为Ke 等[10]提出的不确定块更新基本模型。

为了应对新型飞机使用单位不同的决策需求，以3 种优化准则来构建带有库存容限值的零部件不确定块更新模型。

2.1期望值模型

第1 个优化准则是期望整个周期内零部件更新的平均成本最小，带有库存容限值的不确定块更新期望值模型为

为求解式（3），给出定理5。

定理5 令NT表示到达时间分别为ξi（i=1，2，…）的不确定更新过程，其中ξi为一列独立同分布的不确定变量，其分布函数为Φ，c1、c2、c3为给定的正数，则式（2）的期望值为

证明 已知NT的不确定分布γT（x）为

那么NT的期望为

则[NT-K]+的期望值为

由于NT和[NT-K]+关于ξi（i=1，2，…）是同单调递减函数，根据定理4 可得式（2）的期望值为

定理证毕。

通过定理5，带有库存容限值的不确定块更新期望值式（3）可被转换为确定性模型，即

对式（5）求解便可得到最优块更新周期T*。下面讨论最优解T*的存在条件。

当不确定分布函数Φ 可导时，对式（5）关于T 求一阶导数并令其等于0，可得

这时最优解T*满足等式（6）。

为便于对最优解进行分析，令

当Φ（x）二阶可导时，对f（T）关于T 求导，可得

若Φ（·）是凸函数，对于任意的n，则Φ″（T/n）≥0，于是f′（T）≥0，即f（T）关于T 单调递增，且最优更新时间T*随着c1和c3的减小而逐渐增加，随着c2的增加而增加；若Φ（·）是凹函数，对于任意的n，则Φ″（T/n）≤0，于是f′（T）≤0，即f（T）关于T 单调递减，且最优更新时间T*随着c1和c3的增加而逐渐增加，随着c2的减小而增加。

2.2 机会值模型

第2 个优化准则是期望尽量降低零部件更新成本超过预算的可能性。假如给定一个周期的平均成本预算值为c，则带有库存容限值的不确定块更新机会值模型为

为求解式（7），首先给出定理6 求得一个块更新周期的平均成本的不确定分布。

定理6 令NT表示到达时间分别为ξi（i=1，2，…）的不确定更新过程，其中ξi为一列独立同分布的不确定变量，其分布函数为Φ，c1、c2、c3为给定的正数，则式（2）中C（T，K，NT）的分布函数Ψ（x）为

证明 首先引入记号f（NT）=，g（NT）=

由于f（NT）表示一个不确定基本块更新函数，由文献[10]可得f（NT）的分布函数为

则其逆分布函数为

设[NT-K]+的分布函数Q（x），可表示为

因此，g（NT）的分布函数为

则g（NT）的逆分布函数为

由于f（NT）和g（NT）都是关于NT的增函数，由定理1 可知F-1（α）+G-1（α）为f（NT）+g（NT）的逆不确定分布函数Ψ-1（α），即

因此，f（NT）+g（NT）的分布函数为

得证。

由定理6 得机会值模型式（7）的等价形式为

下面分情况讨论式（9）的最优解。

情形Ⅰ 预算总成本cT≤c1K+c2。此时式（9）等价转化为

引理1 假设c1，c2，c 为正数，且c1＞c2，则优化式（10）的最优解[8]为

情形Ⅱ 预算总成本cT ＞c1K+c2。此时式（9）等价转化为

由引理1，可直接得到最优解为

2.3 关键值模型

第3 个优化准则是要求一个周期内平均更新成本在给定的置信水平下低于预算值c，并以此为约束条件求得最低的预算值，由此建立带有库存容限值的不确定块更新关键值模型为

其中，置信度β∈[0，1]。

下面仍然分情况讨论最优解。

情形Ⅰ 预算总成本cT≤c1K+c2。此时，由式（12）的约束条件可得

据式（8），可求得使c 取到下限Ψ-1（β）时的最优更新周期为

则此时最小预算为

情形Ⅱ 预算总成本cT ＞c1K+c2。与情形Ⅰ使用同样的方法，分别求得最优更新周期与预算为

2.4 3 种模型的适用情况

新型飞机使用单位根据不同的决策目标选用3种模型：

1）决策者若希望长期运行该块更新策略，即在长期意义下希望有一个稳定的且较优的更新周期T 使单位时间更新成本最小，此时应选择期望值模型；

2）当决策者为平均更新成本设置一个预算值时，希望最大限度降低更新成本超过预算的可能性以满足维修需求，此时应选择机会值模型；

3）当决策者希望找出一个最低平均成本预算值，且保证在给定置信水平下使整个周期内平均更新成本低于该预算值时，此时选择关键值模型。

3 算例分析

3.1 不同模型最优解比较

将3 种模型最优解与Ke 等[10]提出的基本模型（简称Ke 模型）最优解进行比较，结果如下：

1）对于期望值模型，带有库存容限K 的模型最优解T*小于等于Ke 模型最优解；

2）对于机会值模型，当预算总成本cT≤c1K+c2时，最优更新周期与Ke 模型一致；当预算总成本cT ＞c1K+c2时，由于更新数量NT超过仓库容限值K 而导致最优更新周期T*比Ke 模型的周期短；

3）对于机会值模型，带有库存容限K 的模型最优解T*与Ke 模型不同。具体来说，当预算总成本cT≤c1K+c2时，最优更新周期仅与β 有关，并随着β 的增大而延长；当预算总成本cT ＞c1K+c2时，最优更新周期T*不仅与β 正相关，且随着K 的增大而延长。

3.2 机会值模型算例

基于机会值模型，以A330 机身蒙皮的块更新策略构造算例。假设蒙皮的寿命服从不确定对数正态分布Φ（x），即

给定K=6，c1=240，c2=220，c3=4，预算成本c=2.4，分布参数e=8，σ=2。

给定单位时间更新成本不超过c 的置信度α =0.95，总预算成本cT=2 000。这时适用情形Ⅱ，即当更换零部件数量超过库存容限值，最优更新周期T*由式（11）给出，得T*=81.67。对机会值模型中的参数进行敏感性分析，最优更新周期T*的结果如图1 所示。

图1 不同参数递增时的最优更新周期T*Fig.1 Optimal replacing period T*with increasing values of various parameters

图1 表明不同参数对最优更新周期T*有着显著影响：从图1（a）可看出，随着计划更新费用c2的增加，最优更新周期T*存在明显增长的趋势；从图1（b）可看出，T*随着更新次数超过库存容限值的单位附加成本c3的增加而减少；从图1（c）可看出，库存容限值K 对T*影响显著，二者呈反比关系；从图1（d）可看出，随着预算成本c 的增加，可相应减少更新周期T*的长度。

4 结语

在零部件寿命不确定的情况下，对带有库存容限值的新型民机零部件块更新策略进行了研究。由于缺乏历史数据，将零部件的寿命设为不确定变量，且考虑了零部件采购价格过高或仓库存储量有限的情况，建立了带有库存容限值的不确定块更新模型。基于3种优化准则，分别建立了带有库存容限值的不确定块更新期望值模型、机会值模型和关键值模型，并根据飞机使用单位的决策目标，对不同模型所适应的实际情况进行了分析，主要结论如下：

1）与Ke 模型解比较分析发现，提出的前两种模型的最优更新周期T*小于等于基本模型的最优周期；

2）算例分析验证了模型的有效性和可行性，结果表明：预算成本c 过低时，需要延长更新周期；同时，计划更新的费用c1、更新次数超过库存容限值的单位附加成本c3及库存容限值K 均对更新周期长度有显著影响。