关于二元不定方程整数解的MATLAB解法
2020-01-17张志恒
张志恒
(郑州财税金融职业学院，郑州 450048)
0 引言
不定式的方程是指由多个未知数组成且未知数取值为整数的方程，本研究的主要目标是二元不定式，即方程中含有两个未知数。定数方程的定义式为：xn+yn=zn，n≥2。现阶段，不定式方程并没有一个统一的解题方法，需根据不定式的基本原则对不定式方程进行求解，然后再根据这一原则利用高等数学、初等数学中所学的知识进行解题。本研究将以二元不定方程整数解的MATLAB解法为例来介绍如何通过MATLAB软件求取不等式的解。
1 基本定义介绍
1.1 二元不定方程定义
形如xn-Dy2=c的方程为二元n(n≥2)次不等式，其中D是一个不等于0的正整数，c是一个不等于0的整数。需要注意的是，当出现n=2，c=±1时，此方程式就为二元一次不定式。
1.2 MATLAB相关编程定义
MATLAB软件是由美国MathWork公司研发而成的一款数学软件，该软件主要用于数据的可视化、数据分析、数学运算等，是一款高级计算语言软件。该软件的产生为科学研究者、工程设计者带来了很多方便，为他们提供了更加全面的问题解决方案，MATLAB软件的研发出品具有非常重要的意义。
MATLAB与Mathematica、Maple并称为三大数学软件，其中MATLAB的基本数据单位与Mathematica、Maple的基本数据单位截然不同，其基本数据单位为矩阵，因此它的数学运算能力更加突出。①for循环：for循环是指对循环的结果进行输出，for循环主要包括以下几个单词：index、increment、endvalue。它们在for循环语句中所代表的含义：index是指循环变量；increment是指增量；endvalue是指对运行的循环进行中止判断。②if与 else或elseif的连用：if与else或elseif的连用是对前面逻辑问题的选择，如果对前面的逻辑条件选择认同，那么就使用if else语句。如果对前面的逻辑条件选择否认，那么就使用if elseif。③函数floor(x)：函数floor(x)是指x向左进行整数取值。例如：floor(-2.6) =-3，floor(3.7)=3。④函数sqrt(x)：函数sqrt(x)是指进行x平方根的取值。例如：sqrt(16)=4。⑤函数power(x，1/n)：函数power(x，1/n)是指进行x的n次方根的取值。例如：power(9，1/2)=3。⑥“==”表示当对两个式子进行计算时，如果两个式子的值相等，那么程序将自动返回到1进行运算。如果两个式子的值不相等，那么程序将自动返回到0进行运算。
2 编程求解二元不定方程整数解的MATLAB设计思路
step1：对x0、y0这两个重要变量进行定义，然后对y取值范围进行设定，本程序对于y的取值范围规定为y≤50 000。
step2:确定本程序循环的表达式以及需要执行的次数，并将“s”定义为不定式整数解的个数。
step3：确定本程序循环中for循环的语句，然后根据不定式整数解的算法过程确定for循环执行的次数，并对循环次数x、y进行定义。
step4：对于不定式的求解过程使用if语句来实现，并对整数解进行输出，完成输出后结束整个程序。
3 编程求解二元不定方程整数解的MATLAB设计程序
利用MATLAB软件来求取二元不定方程整数解，本研究针对这个问题进行了编程设计，具体程序如下：
(1)进行二元二次不定式方程x2+Dy2=c(y≤50 000)的求解程序为：
x0=▯；y0=▯；
y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(D*50 000^2+c))；
x=1∶x1;s=0;
for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;
if x^2-D*y^2==c；
s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;
end
end
end
(2)推广：二元n次不定式方程xn+yn=c(y≤50 000)的求整数解程序为：
x0=▯；y0=▯；
y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(D*50 000^n+c))；
x=1∶x1;s=0;
for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;
if x^n-D*y^n==c；
s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;
end
end
end
4 用MATLAB程序解二元不定方程的应用
例1：求以下二元二次不定方程x2-43y2=-3(y≤50 000)的整数解。
解：将以上二元二次不定式方程所给出的已知条件带入到以下的MATLAB程序中：
x0=▯；y0=▯；
y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(43*50 000^2+1-3)，1/1)；
x=1∶x1;s=0;
for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;
if x^2-43*y^2==-3；
s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;
end
end
end
通过以上的程序运算，得出此二元二次不定式的整数解为：
x0=[13，400，90 932]；y0=[2，61，13 867]；S=3
例2：求取下面二元三次不定式x3-26y2=1(y≤50 000)的整数解。
解：将以上二元三次方程中的已知条件带入到MATLAB程序中：
x0=▯；y0=▯；
y=1∶50 000；x1=floor(power(26*50 000^2+1,1/3))；
x=1∶x1;s=0;
for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;
if x^3-26*y^2==1；
s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;
end
end
end
通过MATLAB程序的运算能够快速求得x3-26y2=1(y≤50 000)的整数解，即x0=[3,313]；y0=[1，1 086]；S=2。
