Boussinesq方程的Lax对、Bäcklund变换、对称群变换和Riccati展开相容性*

刘萍 徐恒睿 杨建荣

1) (电子科技大学中山学院电子信息学院, 中山 528402)

2) (电子科技大学物理学院, 成都 610054)

3) (上饶师范学院物理与电子信息学院, 上饶 334001)

Boussinesq方程是流体力学等领域一个非常重要的方程.本文推导了Boussinesq方程的Lax对.借助于截断Painlevé展开, 得到了Boussinesq方程的自Bäcklund变换, 以及Boussinesq方程和Schwarzian形式的Boussinesq方程之间的Bäcklund变换.探讨了Boussinesq方程的非局域对称, 研究了Boussinesq方程的单参数群变换和单参数子群不变解.运用Riccati展开法研究了Boussinesq方程, 证明Boussinesq方程具有Riccati展开相容性, 得到了Boussinesq方程的孤立波-椭圆余弦波解.

专题：非线性物理

1 引 言

一般来讲, Boussinesq方程可写为

其中, 下角标x和t表示偏微分.Boussinesq方程可以用于描绘浅水波、等离子体、非线性晶格等众多物理现象[1−5].

由于该方程应用广泛, 一些特殊形式的或者修正的Boussinesq方程被推导出来研究.例如, “坏”Boussinesq方程(也叫不适定Boussinesq方程)的形式为

这个方程是在1872年由Boussinesq[1]提出来用于描绘浅水波问题的.Benny和 Luke[6]发现这个Boussinesq方程非线性弱散色现象的一般近似.“好”Boussinesq方程的形式为

这个方程是作为描绘弦的非线性振动模型提出来的, 也可以用于描绘非线性介质材料中的电磁波[7].一种修正的Boussinesq方程的形式为

这个方程也经常被称为“改进的”Boussinesq方程[8],它由流体力学推导而来, 也可以用于描绘波在磁场中的传播, 并取代“坏”Boussinesq方程.

很多不同形式的Boussinesq方程, 是方程(1)的特殊形式.本文旨在研究Boussinesq方程(1)的可积性、对称性和严格解.在下文中, 如果没有特殊说明, Boussinesq方程指的是方程 (1).论文结构如下: 在第2节中, 从一个简化的Boussinesq方程的Lax对, 推导出Boussinesq方程(1)的一组Lax 对; 在第 3 节, 对 Boussinesq 方程 (1)进行截断 的 Painlevé展 开 , 得 到 Boussinesq 方 程 的Bäcklund变换; 第4节研究了Boussinesq方程的单参数群变换; 第5节讨论了Boussinesq方程的全点李对称性相似解; 第 6节应用 CRE(consistent Riccati expansion, CRE)方法证明了Boussinesq方程的CRE相容性.Boussinesq方程孤立波-周期波在第7节进行了讨论; 第8节是本文的结论和讨论.

2 Boussinesq方程的Lax对

当α=0 ,β=1 ,γ=1/3 时, 方程 (1) 退化成

为了将方程(1)和方程(5)的变量进行区分, 我们将方程(1)中的变量 {u,x,t} 对应地写成方程(5)中 的 {v,χ,τ} .Weiss[9]通 过 研 究 方 程 (5)的painlevé性质, 推出了方程 (5)的一组 Lax 对, 其形式如下

方程(1)和方程(5)之间存在标度变换

结合方程(5)的Lax对(6)式以及标度变换, 可以得到方程(1)的Lax对.

定理1(Lax对定理)

Boussinesq方程(1)具有如下形式Lax对:

这里的l代表谱函数,j表示 {x,t} 的任意函数.

3 与截断Painlevé展开相关联的Bäcklund变换

截断Painlevé展开法, 是分析非线性系统最有效的方法之一[10−12].对 Boussinesq 方程 (1), 可将u展开成

这里的u0,u1,u2和f都是 {x,t} 的函数,f是奇异流函数.将(9)式代入到方程(1)中, 所得到的多项式中,f的所有不同阶次的系数都应该为零.由f−6的系数为零, 可得到

由f−5的系数为零, 可得

由f−4的系数, 容易得到

将 (10)式–(12)式代入到f−3的系数中, 得

方程 (13)在 Möbious变换下, 保持形式不变, 因此被称为Schwarzian形式的Boussinesq方程[9].

将(9)式—(13)式代到方程(1)中, 比较所得方程中f0的系数, 可发现u0也是 Boussinesq 方程的一个解, 这表示u=u0是Boussinesq方程的一个 自 Bäcklund 变 换 .而 且 , 对 以 上 截 断Painlevé展开进行总结, 可得到一个非自Bäcklund变换.

定理2(Bäcklund变换定理)

如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

也是Boussinesq方程(1)的解.

定理3(Bäcklund变换定理)

如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

也是Boussinesq方程(1)的解.

4 单参数群变换

Boussinesq方程的对称σu也相应地拓展为满足下式的四分量对称 {σu,σf,σg,σh} ,

对方程(16), 我们也可以研究它的全点李对称.基于这个目的, 四分量对称 {σu,σf,σg,σh} 应该满足Boussinesq方程的线性化的非线性系统.按照点李对称的方法, 经过计算可得总的对称矢量为

各个对称矢量为:

由对称矢量(19)式, 可得到六个单参数不变子群:

从以上六个单参数不变子群, 可到到下列Bäcklund变换定理.

定理4(单参数群变换)

如果{u(x,t),f(x,t),g(x,t),h(x,t)}是拓展的Boussinesq系统(16)的一组解, 则下列函数也是拓展的Boussinesq系统(16)的一组解,

5 全点李对称相似解

对称性理论是求解偏微分方程的一种有效系统的方法[13−19].从对称矢量 (19)式, 不仅可以得到单参数不变子群和群不变解, 而且可以得到Boussinesq的相似解和约化方程.将约化方程的严格解和相似解相结合, 则可以得到所研究系统的严格解.可得到下列四组非平庸情况.

情况 1

在种情这况, 群不变量可写为

相似解的形式为

情况 2

{σu,σf,σg,σh}包含C4, 而C4是与非局域对称相关联的, 那么如果令C4=0 , 则相似解会变得更加简化.这样, 相似解为:

与情况一相比, 时间和空间的对称性都没有改变,因此这种情况的群不变量与情况一相同, 仍为

将 (24b)式代入 (16d)式和 (16e)式, 则变量f和g变成:

将(24b)式代到(16c)式, 可以得到用和F表示的u的表达式, 将(24b)代入到(16b)式, 可以得到F满足的约束方程.由于这两个式子都很长,此处省略不写.

情况 3

(18)式和(19)式说明空间x和时间t的对称受到C1的影响.当C1=0 时, 群不变量x将比情况一和情况二的群不变量简单.此时, 群不变量变为

相似解为:

其中F(ξ) 满足

将(29b)式代到(16c)式, 可得到关于Boussinesq方程的下列Bäcklund变换.

定理5 (Bäcklund变换定理).

如果F满足 (30)式, 则 Boussinesq方程的解为

情况 4

这种情况下, 拓展系统(16)的相似解为:

这里, 群不变量x为

将(32b)式代入到(16b)式, 可得到F(ξ) 满足的约束方程.将(32b)式代入到 (16c)式, 则得到下列定理.

定理6(Bäcklund变换定理).

如果F(ξ) 满足 (32b)式, 则 Boussinesq 方程的解可以写为

6 Boussinesq方程的CRE相容性

本节将通过 CRE (consistent Riccati expansion, CRE)方法来讨论 Boussinesq方程的严格解[20].Riccati方程的形式为

这里的a0,a1和a2是任意常数.Riccati方程的严格解可写为

其中,

对于一个偏微分系统

我们可假设它可以展开为

这里的R(w) 是 Riccati方程的严格解.将 (39)式代入到 (38) 式, 并令Ri(w) 的系数为零, 可得:

如果系统 (40)是自洽的, 则展开式 (39)式是“CRE”, 且非线性系统 (38)是“CRE”相容系统[20].

为了得到孤立波-周期波碰撞解, 可应用CRE方法.CRE方法可被用于证明一个系统是CRE相容系统, 并可用于寻求非线性系统的碰撞波解.对Boussinesq方程,u可展开成截断展开的形式:

这里,u3,u4,u5和w都是x和t的函数,R(w) 是Riccati方程的一个解.

将(35)式和(41)式代入到方程(1)中, 并令R(w)所有阶次的系数为零, 可得

这里w满足

通过CRE和CRE相容性的定义, Boussinesq方程显然是一个CRE相容系统.基于以上讨论, 可得到如下定理:

定理7(CRE相容性定理)

Boussinesq方程是一个CRE相容系统.如果w是相容性条件(43)式的一个解, 则下列形式的u也是Boussinesq方程的一个解.

这里的R(w) 和q分别满足(36)式和(37)式.

7 孤立波-周期波碰撞解

从Boussinesq方程的CRE性质, 可进一步研究Boussinesq方程的严格解.将(36)式代入到(44)式中可得

从(45)式可看到, 如果我们想知道u的具体形式, 那么需要先知道w的表达式.如果w具有如下形式:

这里k1,k2,ω1,ω2,a3,n和m是常数,Eπ是第三类不完全椭圆积分.将(46)式代入到(43)式中, 并令 s n(k2x+ω2t,m) 的所有不同阶次的系数为零,可发现参数应该满足:

这里a4=k1+a3k2.

将(46)式代入到(45)式中, 得:上式中的参数满足(47)式或(48)式.

图1和图展示了满足约束关系(47)的解(49)式.图1 中的自由参数选为{n= 0.2,m=0.5,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2= 1,ω2=1,α= −0.8,β=1}, 图2中的自由参数选为{n= 0.2,m= 0.9,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2=1,ω2=1,α= −0.8,β=1} .图1 和图2 展示了亮孤子和周期波的碰撞行为.图3展示了图1和图2中u的密度函数, 图3(a)对应图1, 图3(b)对应图2.两种情况的周期波和孤立波的方向是一致的, 而碰撞处的形状则不相同.

图1 满足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由参数为{n = 0.2,m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a = –0.8,b = 1}Fig.1.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

图4和图5展示了满足参数限制(48)式的碰撞波解(49)式, 里边的周期波在扭结孤立波上运动, 而不是在常数背景上运动.图4中的自由参数选为 {n= 0.4,a1= 1,a2= 1,a3= 2.2,k1= 1,k2= –0.22,ω2=1,α= −400,β=80} , 其 中(48)式中的m选“+”; 图5中的自由参数选为{n= 0.6,a1= 2,a2= 1,a3= 4,k1= 1,k2= –0.12,w2= 0.1,α=−14,β=6} , 其中 (48)式中的m选“–”.图6展示了图4和图5中u的密度函数,图6(a)对应图4, 图6(b)对应图5.图6清楚地展示了扭结孤立波和周期波的碰撞.

图2 满足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由参数为 {n =0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a =–0.8, b = 1}Fig.2.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

图3 u 的密度函数图.图 (a)的参数与图1 相同, 图 (b)的参数与图2 相同Fig.3.The density of u.The parameters of the Fig.(a) are the same as those of Figure 1 and the parameters of the Fig.(b) are the same as those of Figure 2.

图4 参数关系满足 (48)式的碰撞波解 (49)式的演化图.自由参数为 {n = 0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 =–0.22, w2 = 1, a = –400, b = 80}Fig.4.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are chosen as {n =0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 = –0.22, w2 = 1,a = –400, b = 80}.

图5 参数关系满足 (48)式的碰撞波解 (49)式.自由参数为{n = 0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 =0.1, a = –14, b = 6}Fig.5.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are selected as {n =0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 = 0.1,a = –14, b = 6}.

图6 u 的密度函数图.图 (a)对应图4, 图 (b)对应图5Fig.6.The density of u.The Fig.(a) is related to Fig.4 and the Fig.(b) is corresponding to Fig.5.

8 总结和讨论

本文推导了Boussinesq方程的Lax对, 说明Boussinesq方程是 Lax可积模型.运用截断Painlevé展开法研究了 Boussinesq方程, 得到了Boussinesq方 程 的 自 Bäcklund变 换 , 以 及Boussinesq方 程 和 Schwarzian形 式 的Boussinesq方程之间的非自Bäcklund变换.研究了Boussinesq方程的全点李对称, 得到了单参数群变换和单参数子群不变解.运用CRE方法研究了Boussinesq方程, 证明了Boussinesq方程是一个CRE相容模型, 得到了Boussinesq方程的孤立波-椭圆余弦波碰撞解.Boussinesq方程广泛地应用于描绘流体动力学、电磁学、等离子体、非线性晶格等物理现象.它作为一个著名的孤立子方程,各种各样的激发模式, 以及它在各种物理情景中的应用, 值得不断深入研究.

感谢楼森岳教授和任博博士的宝贵讨论.