PraxisⅡ之数学学科测试规范对中国教师资格证考试的启示

卢永翠，张廷艳

PraxisⅡ之数学学科测试规范对中国教师资格证考试的启示

卢永翠，张廷艳

（西南大学 数学与统计学院，重庆 400715）

教师资格考试制度是实现教师专业化的重要途径，教师资格考试大纲制定的科学性与规范性是实现教师资格考试科学性的先决条件．美国的Praxis系列考试中Praxis II中的数学学科测试规范具有学科考试大纲的作用，它对考生报考的要求、试卷结构、考试内容及要求等都具有详尽的规定．通过对Praxis II中数学学科测试规范的评介，提出对中国的教师资格考试大纲制定的建议如下：注重考试大纲内容制定的程序性与参与主体的多元性，完善学科知识内容要求，注重考生的知识与能力并重等．

教师资格考试；Praxis II数学学科测试规范；考试大纲

1 研究背景

美国教育考试中心（Educational Testing Service，ETS）是目前世界上最大的专门从事考试开发的民间机构，在考试的开发、设计、管理、执行等方面有丰富的经验．Praxis系列考试是由美国教育考试中心（ETS）开发的基于计算机测试的标准化教师资格考试．正是由于ETS独立于美国任何政府部门，不受政府部门支配，使得Praxis系列考试的科学性及考试结果的公正和客观性得到了美国各州的广泛认可[1]．到2018年，美国共有46个州和5个岛屿地区在使用Praxis考试对教师资格申请人进行考核[2]．

Praxis系列考试分为三大系列，每个系列分别对应于教师入职申请的3个阶段．Praxis I称为学术技能评价，衡量的是考生的阅读、写作和数学方面的学术技能，旨在选拔合格人员进入教师培养计划；Praxis II称为学科专业评价，衡量的是特定主题的内容知识以及一般的和特定主题的教学技能，旨在对考生的学科知识进行考核，筛选具有新任教师应具备的学科知识和教学技巧．该系列考试是Praxis系列考试最为精华的部分，考核内容包括：学科测试（考查一般性的学科知识和技能）、教与学原理测试（考查一般教育知识）、多元学科评估测试（考查教师的综合能力）．Praxis III称为课堂行为评价，旨在对新任教师在课堂环境中的教学技能做出评价[3-4]；这种分层测试的理念体现了教师专业发展的阶段性．

中国于2011年开始实行教师资格证考试制度改革，到2018年，除了新疆、内蒙古、西藏外，其它省份已全部纳入教师资格统考范围．改革后的教师资格考试相对于改革之前，在内容和形式上都有所丰富，各科考试有了国家统一的考试大纲．但是中国实行教师资格考试制度的历史非常短暂，考试大纲内容的制定也还处于摸索阶段．目前有关教师资格考试“国考”后的研究主要集中于教师资格考试改革、意义、建议等基本理论，考试科目内容、试题难度、信度、区分度等分析，考试系统、教师资格证管理以及对教师教育产生的影响等几方面的研究[5]，有关教师资格考试大纲的相关研究还寥寥无几．“他山之石，可以攻玉”，研究美国的Praxis系列考试测试规范的制定程序及内容对完善中国的教师资格考试大纲具有重要的现实意义．

2 研究内容

中国教师资格证考试的目的在于选拔具有新任教师应具备的学科知识和教学技能的考生进入教师队伍，与Praxis II的考核目的最为接近．研究者立足于数学学科，对Praxis II中的数学学科测试内容规范进行介绍，以期对中国的教师资格考试大纲的完善有所启示．

3 Praxis II中数学学科测试规范

3.1 数学学科测试规范的分类

在美国，小学教师是全科型的，在教师资格考试中，对于数学学科的测试只分为初中阶段和高中阶段．Praxis测试中初中数学学科测试规范名称为“中学数学（Middle School Mathematics）”，学科代码为5169；高中数学学科测试规范名称为“数学：内容知识（Mathematics：Content Knowledge）”，学科测试代码为5161．

3.2 考试目的和报考条件及试卷结构

3.2.1 初中数学学科测试（中学数学）

（1）考试目的及报考要求．

初中阶段的“中学数学”考试目的是衡量一名初级教师所需要的知识和技能．考生通常需要完成一个以数学教育、数学或教育为重点的学士课程．课程内容包括：算术理论、数学基础、中小学教师几何、中小学教师代数、微积分的重要思想、数据及其应用、初等离散数学、初等概率论与数理统计、数学史、数学欣赏及数学教育中的技术运用等．考生需要理解和运用数学概念进行数学推理、数学猜测，建立数学模型，使用非正式的逻辑论点来证明语句的合理性并进行简单的证明．此外，考生还需要通过整合不同数学领域的知识来解决问题，使用不同概念的表示，解决具有多个解决路径的问题，并开发数学模型，使用它们来解决现实世界中的问题．

（2）试卷结构．（见表1[6]）

表1 中学数学

注：数字输入题是指某些问题要求考生在一个答案框中以整数或小数的形式输入答案，或者在两个单独的框中以分数的形式输入答案——一个框表示分子，一个框表示分母；拖放问题是指有些问题要求考生将给定的短语或短语从一个位置拖拽（用鼠标）到另一个位置并将它们与给定的短语或短语匹配起来．

3.2.2 高中数学学科测试规范（数学：内容知识）

（1）考试目的及报考要求．

高中阶段的“数学：内容知识”测试旨在评估初任高中数学教师所必需的数学知识和能力．考生通常完成了以数学或数学教育为重点的学士学位课程．考生需要理解和运用数学概念进行数学推理、数学猜测，建立数学模型，使用非正式的逻辑论点来证明语句的合理性，并进行简单的证明．此外，考生还需要通过整合来自不同数学领域的知识来解决问题，使用不同的概念表示，解决具有多种解决途径的问题，开发数学模型并使用其解决现实世界中的问题．

（2）试卷结构．（见表2[7]）

表2 数学：内容知识

比较表1和表2可知，其考试内容主题都是比较明确的，而且划分的角度从知识的类别展开．但其测试时间、内容、考题数目及考题类型均存在差异，显然“数学：内容知识”的要求更高．有些考查高中教师的内容虽不在初中教师考试考查的范围之内，但是在报考条件中做出相关要求，比如要完成“微积分的重要思想、数据及其应用、初等离散数学、初等概率论与数理统计”等课程，这说明初中教师也应当具备相应的基本素质．

3.3 数学学科测试规范内容介绍

由上述可知Praxis II中数学学科测试规范分为初中和高中，在此仅以高中数学测试规范——“数学：内容知识”为例．

3.3.1 “数学：内容知识”测试规范介绍

“数学：内容知识”测试规范描述了测试所测量的知识和技能，测试评估的目的是衡量考生对数学知识的整合能力，所以测试中任何问题都可能涉及多个内容类别或多个能力．

3.3.2 “数学：内容知识”对测试内容划分的依据及结构

测试规范设计的原则是符合当前数学教育研究界对教师的基本要求，因而其测试内容的划分并非依据某个唯一的标准．比如要符合全国州长协会最佳实践中心、首席州立委员会理事、国家数学核心标准委员会、全国数学教师委员会（NCTM）和教育工作者资格认证委员会NCTM CAEP标准以及NCTM颁布的“学校数学教学原则和标准”等的要求．下面仅以其一作为说明．

测试规范根据美国全国州长协会最佳实践中心（NGA Center）和各州教育长官委员会（CCSSO）联合颁布的《共同核心州立数学标准》[8]将测试内容要求划分为数学内容领域要求和数学过程性领域要求．数学内容领域要求根据《共同核心州立数学标准》所规定的高中6个基础内容（数与量、代数、函数、建模、几何、概率与统计）以及3个附加内容（微积分、高级统计和离散数学），将测试内容划分为以下7个主题：“数与量”“代数”“函数”“微积分”“几何”“概率与统计”“离散数学”；数学过程性领域要求分为“数学问题解决”“数学推理和证明”“数学联系”“数学表示”“会使用教学技术”等．

在对每个知识主题的知识和能力要求介绍完后是以开放式问题或陈述的形式呈现出来的贯穿于该内容主题的一个讨论区域．这些讨论区域旨在帮助测试考生对基本概念的认识以及考生将这些概念应用于课堂或现实世界的能力．大多数领域都要求考生结合几个方面的知识来形成一个完整的理解和反应．

3.3.3 测试内容要求介绍

（1）数学内容领域要求．

微积分的创立被称为数学史上的“三大变革”之一，在数学史上具有里程碑的意义．它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．世界各国都非常重视微积分的教学，大多数国家已经将微积分纳入高中课程之中[9]．因而，该研究数学内容领域要求介绍中将选取内容主题“微积分”为例．

1. 理解函数极限的含义以及如何计算函数极限，确定极限何时不存在，并利用极限的性质解决问题．

a．能够用图形化的方法分析当从左、右两侧接近一个固定值时()的极限．

b．会利用极限的性质解决极限问题（例如：常数乘以一个函数，两个函数的和，两个函数的乘积或商），其中每个函数在处的极限都存在．

c．通过分析各种函数的单侧极限，以判断函数极限是否存在．

2. 将函数的导数理解为曲线在某点切线的斜率或变化率的极限．

b．能够陈述导数的极限定义，并利用它求给定函数在给定值下的导数，并求出导数函数．

3. 理解如何说明某些函数是连续的．

4. 了解函数连续性和可微性之间的联系．

5. 了解如何使用数值逼近法求导数和积分．

a．给定数值表，使用割线的斜率来逼近导数的近似值．

b．会利用中点法则、梯形法则或其它黎曼求和法来求积分的近似值．

6. 了解如何以及何时使用标准的微分和积分技术．

a．会使用标准的微分技术．

b．会使用标准的积分技术．

c．了解运动中粒子的位置、速度和加速度函数之间的关系．

7. 理解如何分析函数的性态（例如：极值、凹凸性、对称性）．

会利用一阶导数和二阶导数分析函数的图象．

8. 理解如何利用导数求解问题（如有关利率、优化的问题）．

会应用导数解决问题．

9. 理解微积分的基本定理（例如：微分基本定理、均值定理、中值定理）．

a．会用微积分的基本定理解决问题．

b．理解微分与积分之间的关系，包括微积分基本定理的作用．

c．能够将函数的图象与它的导函数图象或积分图象对应起来．

d．理解如何利用函数的微分和积分表达变化率和总体变化．

e．理解并计算函数在一个区间内的平均值（即：积分中值定理）．

10. 理解积分是黎曼和的一个极限．

会用黎曼和的极限来计算一个定积分．

11. 理解如何使用积分来计算面积、体积、距离或其它累加过程．

会用积分方法来计算面积、体积、距离或其它累加过程．

12. 知道如何求数列的极限（如果极限存在）．

会求数列极限，当数列极限存在时．

13. 熟悉简单的无穷极限．

a．能够确定简单的无穷级数是收敛的还是发散的．

b．会求一个简单的无穷级数的和（如果其存在）．

c．会求出一个简单无穷级数的部分和．

微积分部分的讨论区域：

1. 你能分析一个函数在给定点的极限吗？

2. 你能认识到函数在某一点上的极限与函数在该点上的函数值之间的区别吗？

3. 你能用导数的极限定义来计算导数吗？

4. 你能用表格列出割线的斜率来近似给出一个函数的导数吗？

5. 你能确定函数在给定点的连续性和可微性吗？

6. 你能计算出一个函数的极值，并且用一阶导数来判断函数的增减性吗?

7. 你能判断曲线在某一点的凹凸性，并找到曲线的任一拐点吗？

8. 你能应用导数来解决相关的最优化问题吗?

9. 你能用中点法、梯形法或其它黎曼和来逼近积分吗？

10. 你能用微积分基本定理来计算定积分吗？

11. 你能否用微分技术从计算变化的速度来计算累积变化率？

12. 你能用微分和积分技术来识别位置、速度和加速度函数之间的关系吗？

13. 你能判断一个简单级数的收敛性或发散性吗？

14. 你能求一个简单级数的和（如果存在）或者部分和吗？

（2）数学过程性领域要求．

1. 数学问题解决．

a．解决数学中出现的问题和其它情况下的数学问题．

b．通过解决问题来建立新的数学知识．

c．应用并采用各种适当的策略帮助解决问题．

2. 数学推理和证明．

a．会选择并使用各种类型的方法进行推理和证明．

b．能够建立和研究数学猜想．

c．能够发展和评价数学“论证和证明”．

3. 数学联系．

a．能够识别和使用数学概念之间的联系．

b．能够在数学以外的语境中应用数学．

c．理解数学概念是如何相互联系和建立的．

4. 数学表征．

a．能够选择、应用和转换数学表征方法来解决问题．

b．能够使用数学表征来模拟和解释物理和社会现象．

c．能够创建和使用表征来组织、记录和传达数学思想．

5. 教学技术．

a．能够使用技术来帮助理解数学思想．

b．适当地使用技术作为解决问题的工具．

4 测试内容规范的特点分析

4.1 内容体系的完备性和科学性

首先，内容规范中对新任教师需要掌握的基本知识的内容体系及掌握的广度与深度要求完备且比较明确具体；其次，测试内容的划分依据之一是“共同核心州立数学标准”，该标准的制定由全国州长和教育专员通过其代表组织、全国州长协会最佳做法中心（NGA Center）和州校长理事会（CCSSO）等领导制定，同时在制定过程中拥有来自全国各地的教师、家长、学校管理人员和专家，以及国家领导人提供的建议[10]．参与主体的多元性使得标准既满足了联邦政府、州政府的需求，也满足了社会对人才的要求，其科学性为美国数学教育界所认可．因而，测试规范中对内容体系的划分的科学性也是值得肯定的．

4.2 测试规范的独特之处——讨论区域的设置

讨论区域的目的在于帮助测试考生对基本概念知识的掌握程度以及将这些概念应用于课堂或现实世界的能力．

讨论区域所涉及的内容都为该内容区域下的最为核心关键的内容，且这些讨论内容都以问题的形式进行呈现，那么当考生阅读到该区域时便会引发思考，从而使得考生以自我反思的姿态去自我测试，进而提高考生对于基本概念的理解能力．例如，求函数在定点处的极限是微积分的重要内容之一，在讨论区域中便设有问题“你能分析一个函数在给定点的极限吗”，而对该内容的要求在“数学内容领域要求”中已较为详尽地给出，并给出了具体的分析方法——通过分析函数在某点的单侧极限，来判断函数的极限是否存在．在讨论区域中提出这样的问题势必会引起考生思考“我会吗”，进而引起考生对该内容的重视与审视．当然，唯有不足之处是，对于这些讨论区域的内容没有提供参考答案，试想是否可以提供某一个讨论内容的参考答案，以便为考生思考此类问题提供一定的参考依据．

4.3 内容性知识与过程性知识并重

测试规范的内容要求结合“共同核心州立数学标准”，将考生需要达到的要求分为数学内容领域要求和数学过程领域要求，这样对考生在知识与能力方面需要达到的要求较为明确，可以为考生备考提供很好的建议．

由表2可知，“数学：内容知识”数学内容领域的测试涵盖两大部分，第一部分包括：数与量、代数、函数和微积分；第二部分包括：几何、概率与统计和离散数学．内容规范中对考生需要掌握的知识和内容要求明确而具体，例如微积分中：通过分析函数在某点的单侧极限，来判断函数的极限是否存在；如何来证明函数是连续的；函数的连续性和可微性之间的关系是如何的？

同时，从数学过程性领域要求之中可以得知，美国对于教师的要求更加注重教师对知识系统性的把握（如：要能够识别和使用数学概念之间的联系）和实际应用的能力（如：能够在数学以外的语境中应用数学；能够选择、应用和转换数学表征方法来解决问题），注重教师对教学技术的使用技能．

5 启示

5.1 注重考试大纲内容制定的程序性与参与主体的多元性

ETS在Praxis系列测试开发的过程的每一步都咨询了全国各地的一线教师和教师教育工作者．首先，ETS向他们询问一个初任教师需要具备哪些知识和技能．然后，按照他们回答的重要程度排列，并由数百名教师进行审查．最后，对结果进行分析，达成共识，形成测试规范或指南．遵循这些指导原则，这些教师和教师教育工作者以及专业测试开发人员创建满足内容要求和ETS标准的测试问题[6]．而中国的考试大纲制定的依据是《中小学和幼儿园教师资格考试标准（试行）》[11]．从标准的制定者来看，是由中国教育部考试中心制定，参与人员主要为教育行政专家，这在一定程度上对教师资格考试的专业性、科学性造成影响．从考试大纲的命制者来看，命制者主要来源为高校专家，如果教师资格考试大纲只是出自教师教育者而不顾实际教学中的诉求，那么考试大纲的科学性值得商榷．同时，Praxis开发的过程具有一定的程序性，这也在一定程度上保障了其测试的科学性，中国可以建立具有科学性的程序性方案来保障考试大纲制定的科学性．

5.2 完善学科知识内容要求

Praxis II测试规范和中国教师资格考试大纲的设立目的均是为考生和命题专家提供一定的参考标准，在4.3中已经了解到Praxis II中对考生在数学学科知识与能力方面的要求明确而具体，为考生备考提供了很好的备考建议．而中国“数学学科知识与教学能力（高级中学）”对于学科知识的要求分为大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识．大学本科专业数学知识所要求的知识内容规定：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识．内容要求为：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题．高中数学知识要求的内容规定：指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）．其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力[12]．

通过对比，显然“数学：内容知识”更具有参考价值和指导意义．中国的考试大纲中“大学课程中与中学数学密切相关的内容”以及“高中《课标》所规定的全部内容”这样模糊不清的命题要求往往让大多数来自于各个高校而非一线教师命题专家在命制试题时不知如何取舍，考生备考时也一头雾水，不知如何下手．

建议考试大纲的制定应结合中小学实际教学中的诉求，加强基础教育与教师教育之间的联系，提高中小学优秀教师、教育培训机构以及更多层次大学教师的参与度，将考试大纲内容中学科知识部分内容系统化、具体化，以保障教师资格考试的权威性、专业性．同时，为考生备考和专家命题提供更有价值的参考依据．

5.3 知识与能力并重

从上述得知，“数学：内容知识”测试内容要求分为了数学内容领域要求和数学过程性领域要求，且数学过程性领域中要求更加注重考生对数学知识系统地把握以及实际应用数学知识的能力．而中国考试大纲中对考生在数学学科内容知识的测试方面更多地停留在数学知识和数学思想上，缺乏对教师数学应用意识的要求．

“数学：内容知识”数学过程性领域中的“能够使用数学表征来模拟和解释物理和社会现象”“能够在数学以外的语境中应用数学”，实际上体现了对教师在数学建模能力方面的一种要求，而中国《普通高中数学课程标准（2017版）》[13]中也将“数学建模”作为了数学核心素养之一．因而中国的教师资格考试大纲应结合时代对教师的新要求，对初任教师在学科知识方面的要求要做到知识与能力并重．

[1] 秦立霞．美国教师资格认证制度研究[M]．北京：教育科学出版社，2010：80．

[2] ETS. State requirements [EB/OL]. [2018-07-02]. http://www.ets.org/praxis/states.

[3] 陈凡．美国教师资格普瑞克西斯考试研究[D]．金华：浙江师范大学，2006：15-19．

[4] ETS. About the Praxis® tests [EB/OL]. [2018-07-14]. https://www.ets.org/praxis/about.

[5] 叶桂斌，刘汪洋．近5年教师资格考试研究内容分析[J]．中国考试，2017（3）：58-63．

[6] ETS. Middle school mathematics [EB/OL]. [2018-07-14]. https://www.ets.org/praxis/prepare/materials/ 5169.

[7] ETS. Mathematics: Content knowledge [EB/OL]. [2018-07-15]. https://www.ets.org/praxis/prepare/ materials/5161.

[8] CCSSO. Common core state standards for mathematics [EB/OL]. [2018-07-15]. https://ccsso.org/sites/default/files /2017-12/ADA%20Compliant%20Math%20Standards.pdf.

[9] 胡曦茜．职前数学教师对导数知识的SMK及PCK水平研究[D]．苏州：苏州大学，2014：15．

[10] CCSSO. Common core state standards initiative frequently asked questions [EB/OL]. [2018-07-15]. http://www. corestandards.org/wp-content/uploads/FAQs.pdf.

[11] 教育部师范教育司，教育考试中心．中小学和幼儿园教师资格考试标准（试行）[EB/OL]．[2018-07-15]．http://ntce. neea.edu.cn/html1/report/1508/332-1.htm．

[12] 教育部师范教育司，教育部考试中心．中小学和幼儿园教师资格考试《数学学科知识与教学能力》考试大纲（高中）[EB/OL]．[2018-07-15]．http://ntce.neea.edu.cn/html1/report/1508/369-1.htm．

[13] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：10．

The Enlightenment of Praxis II’s Mathematics Test Standard to the Examination of Teacher Qualification Certificate in China

LU Yong-cui, ZHANG Ting-yan

(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The teacher qualification examination system was an important way to achieve teacher professionalization. The scientific and normative nature of the teacher qualification examination syllabus was a prerequisite for realizing the scientific qualification of the teacher qualification examination. The mathematics test specification in Praxis II in the American Praxis series had the role of the subject examination syllabus. It had detailed requirements for candidates’ requirements for examination, test paper structure, examination content and requirements subject test specifications in Praxis II, the author puts forward the following Suggestions for the formulation of the teacher qualification examination outline in China: pay attention to the procedural nature of the formulation of the examination outline and the diversity of the participants, improve the content requirements of subject knowledge, and lay equal emphasis on the knowledge and ability of the examinees.

teacher qualification examination; Praxis II test specification for mathematics subjects; examination syllabus

2019-10-25

西南大学继续教育教学研究重点项目——基于学习者职业能力为导向的专业案例库建设——中小学教师资格考试案例分析（20700173）；2018年度全国民族教育科研课题——民族地区中学数学教师专业素养与学生学业成就关系的实证研究（ZXYB18009）

卢永翠（1993—），女，河南鹤壁人，硕士生，主要从事数学教育研究．

G40-059.3

A

1004-9894（2019）06-0071-05

卢永翠，张廷艳．PraxisⅡ之数学学科测试规范对中国教师资格证考试的启示[J]．数学教育学报，2019，28（6）：71-75．

[责任编校：周学智、陈汉君]