美国课堂高认知水平数学任务的设计与思考

胡典顺，余晓娟，王学萌，于文字，王 静

美国课堂高认知水平数学任务的设计与思考

胡典顺1，余晓娟1，王学萌1，于文字1，王 静2

（1．华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079；2．宜春外国语学校，江西 宜春 336000）

以数学课堂教学中高认知水平数学任务的设计为视角，选取典型案例，深入了解美国数学课堂中高认知水平数学任务的设计，提炼出高认知水平数学任务的六大特征．同时与中国课堂教学中高认知水平数学任务的设计进行对比，从情境创设、目标指向等方面说明两国数学高认知水平数学任务在设计方面可能存在的共同点和差异，在此基础上提出对中国数学课堂教学中高认知水平数学任务设计的思考．

数学任务；高认知水平；设计

1 引言

提起美国的数学课堂，一般的刻板印象是：美国学生学的数学比中国同年级学生学的内容略浅显；数学课程设置轻松；数学学习上的负担很轻．然而，美国数学教育真的如此吗？在这种情况下如何培养出思维活跃、喜欢提问、实践能力强的学生呢？要回答这个问题，首先要从美国的数学教育改革简要谈起．

从1957年至今，美国基础数学教育先后进行了4次大的改革，即“新数学运动”“回到基础”“问题解决”“标准运动”．其中“新数学运动”是像培养数学家那样培养中小学生，而“回到基础”又走向了另一个极端，“对基本技能的强调，使学生的数学水平，特别是思考能力和解题能力又停留在低水平上”[1]．在前两次改革失败后，“问题解决”逐渐成为当时数学教育研究的核心课题．许多学者对此展开了研究，较有代表性的是蔡金法教授的研究视角，他曾将问题解决的最终目的解释为达成教学目标及改进学生的数学学习[2]．20世纪80年代以后，随着《学校数学教育的原则和标准》《州际核心数学课程标准》（简称CCSSM）等一系列标准的颁布，美国的数学教育改革进入了“标准运动”时代[3]．作为CCSSM有效实施的一个重要标志，2013年公布的《州际核心数学课程标准K-8年级数学教材出版指南》修订版中，明确建议三~八年级至少65%~85%的课堂教学时间应用于主要任务教学单元[4]．因此，教师需要精心设计一些有利于数学理解的数学任务，使学生充满信心、饶有兴趣，以探究的精神和方式来促进问题解决和学生的学习．

以数学任务的设计为视角，借助案例分析美国课堂高认知水平数学任务的设计，以期更加深入地理解真实的美国数学教育和数学课堂．然后基于文献和案例支持提出对高水平数学任务设计的思考，并对中国数学课堂任务的设计提出一些启示．

2 数学任务研究概述

数学任务是将学生的注意力集中在某一与数学内容相关的一系列问题或一个复杂问题上的数学活动[5]．美国的数学教育实践研究显示[6-8]，自主性、合作式、探究式的学习方式在数学课堂教学中很受重视，在这样的课堂中大部分教学内容是通过数学任务来展开的．

2.1 数学任务水平的分类

美国学者Stein和Smith根据认知需求水平，将数学任务分为低认知水平和高认知水平[7]．其中，低认知水平数学任务（以下简称“低水平任务”）可分为记忆和无联系的程序，高认知水平数学任务（以下简称“高水平任务”）则分为有联系的程序和做数学．

低水平任务要求学生只通过记忆重复信息；或通过无关联的程序得到答案，不涉及用程序解决问题和形成数学理解．

例如：（1）确定通过点(1, 2)和(4, 6)的直线的斜率；（2）Mary一年能赚30 000美元，如果她的工资每年增加 2 000美元，写出Mary在年内能赚的钱数的方程，并求Mary在10年内能赚的钱的总数．

以上两例都是低水平任务．完成这类任务只要按部就班进行计算，它关注的重点是完成任务、获得答案．用低水平任务来进行数学教学对于确保学生知道重要事实和程序是不可或缺的．然而，这并没有让学生对概念建立联系，并形成深刻的数学理解．因此，教师必须找到帮助学生加深知识理解的方法，其中之一就是使用高水平任务．

高水平任务要求学生形成关于数学概念和思想的深层次理解或去做数学，需要一定程度的认知努力，合理运用相关知识和经验．

例如，维基百科上的报告说有8%的美国人每天吃麦当劳．数据显示2012年大约有3.11亿美国人吃麦当劳，在美国大约有1.28万家麦当劳店面．请从以上数据中做出一个猜想，并对你的结论给出一个数学上的证明．

这是一个做数学的例子．学生可搜集相关数据，预测2020年美国人在麦当劳的餐饮消费．在高水平任务中，概念性的理解是重点，学生不能只简单地记住事实或进行算法的演算．相反，他们必须经过合理的、逻辑严密的解题推断，最终实现问题的解决．

2.2 高水平任务对数学理解和学业成就的影响

数学任务可以通过把学生的注意力引向特定的内容来影响学习者，任务不仅决定了学生学习什么，还决定了他们怎么思考、发展、理解和运用数学．Quasar Project[8]研究结果体现了作为问题解决核心的数学任务，特别是高水平任务，在课堂中长效地为学生提供了参与高认知需求数学活动和数学理解的机会．在另一项研究中[9]，通过对美国CMP（The Connected Mathematics Project）课堂和非CMP课堂（即传统课堂）的观察发现，CMP课堂上学生的学业成绩更加优异，且这种优势会在他们进入下一阶段的学习中继续发挥作用．究其原因，两类课堂在不同认知需求的数学任务占比上有显著差异，有超过45%的CMP课堂中实施了至少一个高水平任务．

教师选择和使用任务是学生学习质量的主要决定因素，研究者在一个名为“任务类型和数学学习”的项目中使用了一系列情境化高水平任务，这样做有效地帮助了学生对数学知识的理解，从而提高了学业成绩[10]．此外，高水平任务在促进课堂交流方面也起到了桥梁作用．通过完成数学任务，学生可以表达观点、相互质疑、辩解澄清等，从而促进了学生的数学理解[11]．那么，高水平任务有什么特征呢？

2.3 高水平任务的特征

高水平任务鼓励学生寻找不同数学内容之间或数学与非数学领域之间的联系、进行非算法式的思考、要求概括、经历有挑战性的思维过程[12]，这是高水平任务与一般任务的区别所在．有学者从情境创设、教学意义、活动开展等方面探讨了高水平任务的特征[13-15]．总体说来，高水平任务具有以下特征．

（1）情境性．情境性是高水平任务的一个显著特征．真实的、有趣的、与实际生活紧密联系的情境能使学生把情境与数学知识联系起来，促进数学任务完成．除生活情境外，高水平任务的情境也可以是纯数学情境．情境是为数学任务服务的，“关键是数学任务本身是否为学生提供了推理、意义建构和问题解决的机会”[16]．

（2）探究性．高水平任务中，强调学生经历探索过程，理解数学概念与关系等．数学任务的探究性支持学生思考、让学生监督自己的学习以及促进推理和论证．

（3）表征性．高水平任务通常以多种形式呈现，如图表、教具、符号、模型和实验等．用不同的形式去表征同一个数学内容，有利于学生更深刻地理解数学任务、更透彻地理解数学知识．

（4）展开性．在一节课中，高水平任务通常是围绕一个主要的、复杂的数学任务或几个相关的、有层次的小数学任务展开的．这种依层次逐渐展开的特性是数学任务的展开性．具有展开性的数学任务可以为学生创造深入探索并进行复杂思考的氛围．

（5）概括性．通过完成数学任务获得某一类问题的解决方法．这有助于学生发展抽象思维，也能促进数学知识、技能的迁移．

（6）开放性．不少高水平任务是开放式的．包括条件的开放性、思维形式的开放性、具有多种可行的答案等．学生在这种开放式的学习环境中能得到适合自己的学习机会，积极思考并完成数学任务．

在以上6个特征中，前3个特征属于高水平任务的基本特征．后3个特征可能出现在不同难度的高水平任务中．下面通过两个具体的案例进一步加以说明．

3 案例分析

通过观看相关教学视频、查阅相关文献及教学设计，发现中美两国数学课堂中的数学任务设计具有各自的特点．下面分别选取中美两国的一堂八年级课堂录像进行分析．授课内容均为一次函数，分析内容主要是课堂教学中的数学任务设计，不包含小结交流及课后作业中的数学任务．

3.1 两个案例中的数学任务

两节课中的数学任务见表1（表中内容分别来自文[17-18]并结合授课视频整理而成）．

表1 美国课堂数学任务设计

表2 中国课堂数学任务设计

3.2 两个案例中数学任务的特征分析

依据完成数学任务所需的认知水平，中美课堂中两个数学任务都是高水平任务．即二者都不是对以前知识的回忆或者根据提供的公式、步骤来解决问题；都具有情境性、探究性和表征性；要求概括；课堂目标明确；学生参与度高等特征．从问题解决层面分析，这两个数学任务都需要学生经过探究灵活应用已有数学知识，运用抽象思维、建模思维等高层次数学思维，主动建构知识解决问题．但两者在情境创设、目标指向等方面又有所不同，具体如下．

（1）情境创设不同．美国这节课的高水平任务只有一个实际生活情境，一个复杂数学任务中的各个子任务都围绕这个情境展开，情境是学生熟悉的校园活动．中国这节课的高水平任务设置有多个情境，这些情境内容丰富，但有些情境与学生生活联系不紧密．

（2）目标指向相异．美国这节课的目标是让学生在一个复杂的情境中解决问题，突出过程目标；中国这节课则是让学生在多个情境中学会知识，注重双基目标．倾向于过程目标取向的教学具有两个明显的特点：一是相信高层次的认知过程技巧，尤其是迁移等技巧的掌握比知识本身更有助于学生学会学习；二是关注学生认知的连贯性[19]．目标指向的不同使得两节课中数学任务的探究性程度也有所不同．

（3）呈现方式有别．呈现方式体现了数学任务的表征性和展开性特征．美国这节课上的数学任务是一个复杂的问题，由几个有关联的小问题组成，通过一个情境有层次递进地呈现出来．而中国这节课上的数学任务由一系列没有关联的问题组成，且数学任务是在多个情境中呈现出来的．此外，前者数学任务中涉及了用公式、图表等表征数学知识．后者较多从纯数学角度表征数学任务．

（4）解决过程不同．解决过程反映了数学任务的概括性和开放性程度．两个数学任务的问题解决均渗透了归纳概括的数学思想方法，以及在探究的过程中体验特殊和一般的关系，具有一定的开放性．美国这节课的数学任务是从生活经验中提炼出数学知识，蕴含了纵截距、斜率及数列求和等数学概念和技能．中国这节课的数学任务注重问题解决的程序，聚焦在表示两个变量的关系和判断是否为一次函数为主，但告知了变量，降低了数学化的难度．

4 高水平任务设计的思考

从以上案例中可看出，美国在高水平任务的设计中，重视学生问题解决能力的培养，强调数学与实际生活的联系，培养学生的推理与概括能力．这样的数学课堂能给中国高水平任务的设计带来一定的借鉴与思考．例如，下面是中国某市级学校九年级数学课堂上出现的两个问题．

例1 某音乐厅决定在暑假期间为学生举办专场音乐会．入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总数的2/3．提前购票会有不同程度的优惠．若在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的3/5．零售票每张16元，共售出零售票数的一半．若在6月份内，团体票每张按14元出售，并计划在6月份售出全部余票．设总票数为张，6月份零售票按每张元定价．问：（1）5月份和6月份票价的总收入分别是多少元？（2）当为多少时，两个月的票款收入持平？

例2 为了加强公民的节水意识，某市采取价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如下．水费按月结算．

每月用水量单价 不超出5 m3的部分2元/ m3 超出5 m3不超过10 m3的部分4元/ m3 超出10 m3的部分8元/ m3

问：（1）该户居民2月份用水12.5 m3，则应收水费多少元？

（2）该户居民3、4月份共用水15 m3（其中4月份用水量超过3月份），共交水费44元．则该用户3、4月份各用水多少立方米？

上述两个数学任务，设置有情境，需要探究，可使用表格、线段图等方式进行表征，具有一定的展开性．无疑解决它们都需要调动学生的高水平认知．研究表明，学生在数学学习上成功与否很大程度上取决于教师[20]．蔡金法认为，教师在教学过程中应同时扮演好选择合适的数学任务和组织课堂讨论两个角色[21]．因此，教师在课前认真思考以下问题（见表3[15]），将帮助自己设计出真正的高水平任务，也有助于学生找到解决问题的切入点，提高课堂效率．

表3 促进高水平任务设计的问题

教师对上述问题的回答体现出教师的教学信念以及对学科教学知识的理解．毕竟，教师关于数学教学的认识信念，决定着教师的教学决策和行为，也间接影响着学生的学业成绩和学习态度[22]．因此，教师在设计高水平教学任务时可依据学生的学习目标、自身的教学信念和学科知识以及高水平任务的特征进行设计．流程如图1．

图1 高水平任务设计流程

以例1为例．确定学习目标，这是一节课的出发点，也是评估课程的落脚点．该数学任务的知识和技能目标就是理解一元一次方程并会求解．该数学任务的情境是购票，属于与学生生活紧密联系的生活情境．预设学生的探究过程时，要考虑到学生的已有认知水平，同时注意结合数学任务的过程性学习目标，即用方程思想挖掘条件中隐含的数量关系，结合已学模型建立方程．考虑到数学任务的复杂性，教师在设计数学任务时应尽量丰富任务的表征方式，可借助直观图表寻求已知量与未知量之间的等量关系．在预设数学任务的解决方法时可以考虑列表表示各类信息和关系．除此以外，还要预设数学任务探究的形式、报告讨论的方式，以及在此过程中学生需要使用的工具或资源、可能产生的错误理解等，为课堂实施数学任务及准确地评估学生情况做好准备．

5 结语

以高水平任务的设计为视角进行分析，可以看出，不少人对美国数学教育的认识存在一定的偏差．应该客观、正确地看待美国的数学教育，科学合理地借鉴、学习他们的优点．教师可以通过设计高水平任务，引导学生进行高层次的思维和推理，为学生形成积极主动的学习习惯创造有利的条件．在设计高水平任务前需要做好相关准备，熟悉设计的流程及注意事项等．设计数学任务时注意要给学生留有思考的空间、交流合作的机会，体现以学生为中心的教育理念．当然，并不是教材中所有的内容都适合设计成高水平任务，也不是所有的内容都需要设计成为高水平任务，作为基础的低水平任务也具有其用途所在．

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The Design of Mathematical Task of High Cognitive Level in the Class

HU Dian-shun1, YU Xiao-juan1, WANG Xue-meng1, YU Wen-zi1, WANG Jing2

(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Foreign Language School in Yichun City, Jiangxi Yichun 336000, China)

This paper stem from the perspective of mathematical task with high cognitive demanding in classroom teaching. With the typical cases selected, this research explored the design of mathematical task in high cognitive level in high school education context in the US, and illustrated the six major characteristics of high cognitive level mathematics tasks. Meanwhile, by comparing the cases of designing high cognitive level mathematical task in America and in China, the potential similarities and differences were draw in the aspects of situation creating, target pointing and so on. On the basis of this, the paper put forward some ideas on Chinese education in terms of the design of mathematical task in high cognitive level.

mathematical task; high cognitive level; design

2019-10-16

教育部人文社会科学研究规划基金项目——中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（19YJA880012）；湖北省教育科学规划项目——“国培计划”实施的有效性研究（2016GB194）

胡典顺（1965—），男，湖北孝感人，教授，博士，博士生导师，主要从事数学课程和教学论研究．

G40-059.3

A

1004-9894（2019）06-0037-05

胡典顺，余晓娟，王学萌，等．美国课堂高认知水平数学任务的设计与思考[J]．数学教育学报，2019，28（6）：37-41．

[责任编校：周学智、陈汉君]