脑洞大开 一题多解

阮萍扬

中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2020）02-0187-02

2019年泉州市二检中，有一道题吸引了笔者的眼球，乍一看切入点不好找，思路不清晰，但仔细思考后会发现有多个角度可以入手分析，随着思考广度的不断拓展，一题多解，脑洞大开。

题目：如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a+b=5，（2a+b）cosC+ccosB=0，若点D为AB的中点，∠ACD=30°，求a，b的值。

图1 图2

1.向量方向

解法1：由（2a+b）cosC+ccosB=0易得∠ACB=2π3，∠DCB=π2，由点D为AB的中点，故：CD=12CB+12CA，利用CD·CB=0，可得：12CB2+12CA·CB=12a2+12abcos（π2+π6）=0a2-12ab=0b=2a

，再联立a+b=5，求出：a=53，b=103。

解法2：利用向量点乘的极化恒等式有：CA·CB=CD2-DB2，而∠DCB=π2，即：

CA·CB=CD2-DB2=-（DB2-CD2）=-BC2abcos（π2+π6）=-a2b=2a。联立已知条件即得答案。

总结：向量用来解三角问题，经常要用到模长平方，向量的夹角公式，或向量点乘的几何意义、极化恒等式等等，这是一个研究解三角形问题的方向，是一种常见的方法。

2.解三角形方向

解法3：易得∠ACB=2π3，代入条件（2a+b）cosC+ccosB=0，可得：（2a+b）cos2π3+ccosB=0

ccosB=12（2a+b）;在△DCB中（图1），∠DCB=π2，得：cosB=BCBD=ac2=2acccosB=2a;代入ccosB=12（2a+b），即：2a=12（2a+b）b=2a。联立已知条件即得答案。

总结：此题的参考答案解法也非常漂亮，利用△ACD和△BCD面积相同可以轻易得到b=2a;参考答案还给了另外一种解法，在△ACD對∠ADC用正弦定理;在△CBD对∠CBD取正弦值;联立后，即可以得到b=2a。而笔者的这个解法主要受到2017年全国卷1卷三角函数大题的启发，条件可以二次应用，得到新的条件，这也不失为一种好的解法。解三角形问题，用正余弦定理、面积公式等，这种解法中规中矩，套路化模式化是最重要的一种基本方法。

3.解析几何方向

解法4：如图建立平面直角坐标系，描出坐标C（0，0），B（0，a），A（sinπ3b，-cosπ3b），而点D是AB的中点，所以yD=-cosπ3b+a2=0b=2a，联立已知条件即得答案。

图3 图4 图5

解法5：由于CA+CB=5，所以可以构造以A，B为焦点，2a=5的椭圆，如图3，题目转化为，AB=2c，∠ACD=π6，∠DCB=π2求AC=r1，BC=r2的值。设直线DC的方程是y=kx，则直线CB的方程是y=-1k（x-c），直线AC的方程是y=k-131+13k（x+c）y=3k-13+k（x+c）。联立三个方程得：k=23，kAC=35 ，x=37c，y=237c由焦点三角形面积公式可得：

S△CAB=b2tanπ3=12·2c·237cb2=27c2，故：b=526，c=576，因此：r1=ex+a=103，r2=53。

总结：利用建系，运用代数的方法解决几何问题，这是解析几何神奇之处，常常有化难为易，化繁为简的功效，并且思路简单，入手容易，是解决三角问题的好方法。解法5，利用条件a+b=5，构造一“椭圆”，再利用椭圆的性质去解决问题。这种解法在此例中运算量较大，“小题大做”，但巧在构造的模型。值得一提的是，另外一种常见构造结构圆，也是解决三角问题的一种好模型好方法。

4.平面几何方向

解法6：如图4所示，延长CD到C′使得CD=C′D，得：△BCD≌△AC′D∠AC′D=∠BCD=Rt∠。AC′=BC=a。在Rt△AC′C中∠ACC′=π6，AC=b，有b=2a。联立已知条件即得答案。

总结：利用平几知识点解决问题，是非常好的一个思路，并且解法不唯一。此题也可以过点A做直线与BC相平行，利用中位线解决问题。也可以过点D做AC的垂线，用相似解决。平面几何的分析方法越来越重要，也是近几年的国考卷中常见的命题手法。

5.联立方程解方程组方向

解法7：如图5，为了简化计算量，利用等差中项的思想方法假设变量，不妨设a=52-d，b=52+d，AM=BM=12AB=m，在△CAB中利用余弦定理cos（π2+π6）=（52-d）2+（52+d）2-AB22（52-d）（52+d）4m2=d2+754，在Rt△CDB中对∠B取余弦值：cos∠B=52-dm，在△ACB中对∠B使用余弦定理：cos∠B=（52-d）2+4m2-（52+d）22（52-d）2m，即：3（52-d）2+（52+d）2=4m2，进一步化简：

（52+d）2-（52-d）2=4[m2-（52-d）2]，注意到Rt△DCB中，m=BM，52-d=CB，所以：

CD2=52d，再次利用Rt△DCB，由勾股定理得m2=（52-d）2+52d。联立4m2=d2+754，可解出d=56，即：a=52-d=53，b=52+d=103。

总结

假设未知数求解未知数，假设两个变量，那么只需要找到两个等式，联立求解即可。此题解法，刻意的选择“公差”作为其中一个变量，计算过程略显麻烦。实际上对于变量的选择还可以有其它选择，可设边长，可设角度，有了变量再去寻找等式。这种方法较为“笨重”，尽管计算量大，但思简单，入手容易，因此成为解决三角问题，最值问题常用解题策略。