一道错误试题的分析与探究

2020-01-11王平

数学学习与研究 2020年21期

关键词：试题探究

王平

【摘要】本文通过剖析一道题目错误的期末试题，找出了其中出错的原因，并进一步对题目条件做了合理的探究和更正.

【关键词】试题;探究;更正

在完成八年级上学期期末试卷后，比对答案时发现试卷最后一题有一小题的标准答案与笔者的答案有出入.仔细研究后，发现过程都是正确的，而让人困惑的是，同一道题，用不同的解答方法，竟然得到不同的答案，这让笔者产生了一探究竟的想法.

试题：（江北区八年级上学期期末考试26题）已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A，B分别是x轴和y轴上的动点.

（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求点B的坐标;

（2）如图2，BC交x轴于点D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（2+22，0），求点D的坐标.

标准答案：（1）如图3，过C作CM⊥y轴于M，则CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90°，∴∠CBM=90°-∠ABO=∠BAO.又∵AB=BC，∠BMC=∠AOB=90°，∴△BMC≌△AOB（AAS），∴OB=CM=4，∴B（0，-4）.

（2）如图4，过C作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，则∠AMC=∠AMN=90°，CM=3.∵AD平分∠CAB，∴∠CAM=∠NAM.又∵AM=AM，∴△AMC≌△AMN（ASA）.∴MN=CM=3，∴CN=6.∵CM⊥x轴，∠ABC=90°，

∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，∴∠NCB=90°-∠CDM=90°-∠BDA=∠BAD.又∵AB=BC，∴△CBN≌△ABD（ASA），∴AD=CN=6.∵A（2+22，0），∴D（22-4，0）.

对于第（2）问笔者采取了类似第（1）问的加辅助线方法.解答过程如下：

（2）解：如图5，作CM⊥y轴于M，设AC交y轴于P，由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.∵点C的纵坐标为3，A（2+22，0），∴MO=3，MB=AO=2+22.

∴CM=BO=MB-MO=22-1.∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴CM∥x轴，∴DOCM=BOBM，即DO22-1=22-12+22.

∴DO=132-172，∴D-132-172，0.

此时笔者发现，用不同的方法得到了与标准答案截然不同的结果，并且利用相似的知识，在解答的过程中并未用到“AD平分∠CAB”这个条件就得出了答案，这显然是题目条件出现了问题.经过进一步的探讨，我们可以发现题目第（2）问给出了三个相互矛盾的条件：“AD平分∠BAC，点C的纵坐标为3，A（2+22，0）”.举例，当“点C的纵坐标为3，A的坐标为（2+22，0）”时，可以推得AD不平分∠BAC.推理如下：

作CM⊥y轴于M，设AC交y轴于P，则MO=3，AO=2+22，CM=BO=22-1.

∵CM⊥y轴，∴CM∥x轴，∴△PCM～△PAO，∴PMPO=CMAO=22-122+2=5-322.

又∵MO=3，

∴PO=3·27-32=42+18231.

∴BO≠PO.

∴AD不平分∠BAC.

（反证法：如果AD平分∠BAC，由AO⊥BP，可得∠APO=∠ABO，△ABP为等腰三角形，则BO=PO）

事实上，当上述三个条件中的两个已知时，另一个条件也确定了，也就是说三个条件是相关联的.接下来探究让三个条件同时满足的适合条件.

探究：如图6，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分别在x轴和y轴上，BC交x轴于点D，且AD平分∠BAC，CM⊥y轴于M，AC交y轴于点P.设C的纵坐标为c，A（a，0），则MO=c，AO=a.由前文得△BCM≌△ABO，∴AO=MB=a，CM=BO=a-c.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB，∴PO=BO=a-c.

∴MP=MO-OP=c-（a-c）=2c-a.

∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，∴CM∥x轴，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a-ca=2c-aa-c，∴2a2-4ac+c2=0，解得a=2±22c.

由此可知，当AD平分∠BAC时，C的纵坐标c和A的横坐标a，需满足a=2+22c.不妨设c=2，a=2+2，可以将原试题第（2）问更正为：

（2）BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为2，A（2+2，0），求点D的坐标.

解：如图7，作CM⊥y轴于M，设AC交y轴于P，

由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.

∵点C的纵坐标为2，A（2+2，0），

∴MO=2，MB=AO=2+2，

∴CM=BO=MB-MO=2.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB.

∴PO=BO=2，∴MP=MO-PO=2-2.

∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，∴CM∥x轴，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.

∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，

∴OD=MP=2-2.∴D2-2，0.

此外，当AD平分∠BAC时，根据A，C坐标之间的关系，我们还可以对该题第（2）问作出其他形式的修改：

（2）BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为2，求点D的坐标.

解：如图8，作CM⊥y轴于M，设AC交y轴于P，设CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO.

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵点C的纵坐标为2，

∴MO=2，AO=MB=MO+OB=2+a.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO，

∴AP=AB，∴PO=BO=a，∴MP=MO-PO=2-a.

∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，∴CM∥x轴，

∴∠PCM=∠PAO，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a2+a=2-aa，解得a=2，∴MP=2-2.∵AD平分∠BAC，

∴∠PAO=∠BAO=∠MCP.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴OD=MP=2-2，∴D（2-2，0）.

进一步，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A，B分别在x轴和y轴上，BC交x轴于点D，且AD平分∠BAC，CM⊥y轴于M，AC交y轴于P.设C的纵坐标为c，A（a，0），根据之前的推理可知MB=AO=a，BO=CM=a-c，a=2+22c.∵CM⊥y轴，∴CM∥x轴，可得DOCM=BOBM=a-ca=1-ca=1-22+2=2-1，∴DOOA=2-1CMOA=2-1（a-c）a=3-22.即DO=3-22OA.由此我们又可以将原题第（2）问改编成：

（2）BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点D的坐标为1，0，求点A的坐标.

解：如图9，作CM⊥y轴于M，设AC交y轴于P，

设CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO，

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵D的坐标为（1，0），∴OD=1.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO.

∴AP=AB，∴PO=BO=a.

∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴CM∥x轴，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO，∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴MP=OD=1.

∴BM=OB+OP+MP=2a+1.∵CM∥x轴，∴DOCM=BOBM，即1a=a2a+1，解得a=1±2.