建构不等式突破椭圆、双曲线离心率取值范围问题

于周好

【摘要】历届高考数学试卷中，离心率问题都是考查的重点、热点问题，在解决离心率问题过程中，体现了数学的核心素养、函数与方程、化归与转化思想，包括数学逻辑推理、数学运算中全字母的运算、平面几何图形的直观想象等方面.

【关键词】离心率定义;平面几何图形中的不等式关系、题目中的不等信息、题目中所给参数的目标指向性

突破椭圆、双曲线离心率取值范围，关键在于如何找到不等式关系，构造关于a，b，c的不等式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范圍.本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳总结：

一、椭圆、双曲线的离心率是高中数学解析几何章节中重要的内容之一，是描绘几何图形的重要参数，其曲线的第二定义即采用曲线的离心率的方式定义的.每年的全国各地高考卷中均有涉及，是重点也是难点.求离心率的问题中，如何求椭圆、双曲线离心率的取值范围？第一重要的方法是定义式：求出基本量a，c或者a，b，借助定义式椭圆e=ca=1-b2a2，双曲线e=ca=1+b2a2;或者结合题目所给的条件列出关于a，b，c的不等式，结合椭圆中的关系式a2=b2+c2，双曲线中的c2=a2+b2将不等式转化为a，c或者是a，b的齐次式，不等式两边分别除以a的齐次方，解不等式即可得离心率的取值范围.

采用直接定义法求椭圆、双曲线的离心率，一般为基础题型，要求学生对概念应理解到位.

例1 （2019全国卷改编）若椭圆的方程为x2+3y2=n（n>0），则椭圆的离心率为.

解析 将椭圆化为标准式x2+y213=n（n>0），得到a2=1，b2=13，直接使用公式及其变式e=ca=1-b2a2=1-13=63.

点评 此题比2019年全国理科一卷中的第16题稍有深度，在概念理解、公式运用方面要灵活.

借助题目中的不等信息，发掘题目本身隐含的构造不等式的条件，或者是题干中直接给出的不等关系，或者是图形中的不等关系.解题分析时应当做出符合题意的示意图，理清圆锥曲线的点（顶点、焦点）、线（渐近线）、轴（长轴、短轴、实轴）、距（特殊点到特殊线的距离），列出它们之间的不等关系式.在解决问题过程中，也经常直接使用椭圆和双曲线中的常用结论.

例2 正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上x2a2+y2b2=1（a>b>0），若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是.

解析 设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c，又∵正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，∴m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2=e2+e21-e2，∴e4-3e2+1≥0，e2≤3-52=（5-1）2[]4，

又∵0

点评 将题干中的语言文字“椭圆焦点在正方形内部”“正方形的顶点在曲线上”转化为数学符号语言，列出不等式和方程m>c，两者结合得到关于离心率e的不等式.注意椭圆离心率的范围是（0，1）解得即可.难点在于学生不能设出点坐标，得到点的坐标在椭圆上，列出m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2.本题中即使不作图，脑海中也应该有示意图.

例3 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是.

解析 因为OP为△PF1F2的边 F1F2的中线，可知 PO=12（PF1+PF2），双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，则4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，则e≥2.

点评 数形结合的思想贯穿高中数学始终，根据平面图形的关系求解圆锥曲线的离心率取值范围的问题也不例外.如此题中椭圆-a≤x0≤a，-b≤y0≤b，双曲线半实轴长中|x0|≥a，结合三角形中线所在向量的结论，同时初高中平面几何知识的结论都可能涉及.把条件2|PF1+PF2|≤|F1F2|转化为特殊线段PO与半实轴长a的关系，从而得到e的不等式.

理解题目中所给参数的意义、目标指向性，结合题设条件和圆锥曲线定义中的等式关系条件，建立参数为自变量，离心率为因变量表示的函数关系式，通过对此函数求值域，即得到曲线离心率的范围.因为此题中有关键词“焦点”，学生在分析此题时很容易往椭圆定义方向思考.

例4 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点N关于原点的对称点为M，F为右焦点，若NF⊥MF，设∠NMF=α，且α∈π12，π4，该椭圆离心率e的取值范围是.

图1解析 设左焦点为F1，连接NF1MF为矩形，∴NF1=2csin α，MF=2ccos α，∵NF=MF1由椭圆的定义知NF1+NF=2a即2csin α+2ccos α=2a，即ca=1sin α+cos α=12sinα+π4，

∵α∈π12，π4，∴62≤2sinα+π4≤2∴22≤ca≤63.

答案为22≤e≤63.

点评 本题的关键在于“焦点”联想定义，把握椭圆的定义，动点到两焦点距离之和是2a，建立等式关系式，构造离心率的表达式ca=1sin α+cos α，此题中是把解析几何与三角函数知识结合，把离心率e表示为角α的函数，结合题目中所给角的范围，利用所构造的三角函数值域求解离心率的范围.难点在于构造定义式中的两边如何与题干中的角α建立联系，属于跨越知识板块类的问题.

例5 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，经过原点的直线与C交于M，N两点，若∠MF1N≥120°，则椭圆的离心率的取值范围为.

解析 如图所示，设椭圆的右焦点为F2，连接MF1，MF2，NF1，NF2.

图2显然四边形MF1NF2为平行四边形，∴∠MF1N+∠F1NF2=180°，∠MF1N≥120°，∴∠F1NF2≤60°，由条件知，当N在短轴端点B2时，∠F1B2F2最大，此时在直角三角形B2OF2中，∠OB2F2=30°，由图形知OF2=c，OB2=b，∴B2F2=a，

∴e=ca=OF2B2F2=sin∠OB2F2=sin 30°=12，当点N不在B2时，欲使得∠F1NF2≤60°仍成立，椭圆的短轴应更高，即椭圆越圆，其离心率就越接近0，所以答案是0

点评 审题过程中画出基本图形，在此题中显得尤为重要.在本题中解决问题的切入点是利用已知的角度关系建立不等式，结合椭圆图形中的特殊位置（顶点）、特殊关系，取其特殊情况下的端点值，以运动的观点观察当点N不在短轴的端点处时，离心率越小，体现了转化与化归思想.易错之处是把最终离心率的范围判断错误，取成12

二、感 悟

通过以上题型的分析可知，椭圆、双曲线的离心率与之联系的知识点特别多，某一个看似简单的选择、填空中求离心率问题，实际上可能是三四个知识点的融合，方法灵活多变，对于提高学生的思维能力和综合运用知识的能力都有很大的帮助.学生在平时学习中，需要通过必要的练习进行方法和思路的探寻，培养对题目中不等关系灵敏的感知和转化能力.建构不等式突破椭圆、双曲线离心率取值范围问题的方法还有三角形的三边关系、直线与曲线位置关系中的二次方程判别式、点与曲线的位置关系等建立不等式.