例说构造法解题对中学生数学思维的培养
2020-01-11任兰兰
任兰兰
【摘要】灵活构造数学模型（如函数、方程、图形等）会使得一些问题的求解或证明变得直观、简便.构造法要求学生具备一定的知识储备，教学中大量构造法的训练也会使学生的数学思维得到培养和提高.本文通过例子谈一谈用构造法解题的过程对中学生类比思维、化归思维和数形结合思维的培养.
【关键词】 构造法;中学数学;数学思维
在初中数学解题中，同一道题往往有不同的解题方法，因此巧妙、便捷的解题方法往往会让人眼前一亮.构造法是集巧妙和便捷于一体的数学方法，主张观察题目条件和相关结论，摆脱思维定式，巧妙构造数学模型解决问题.一般情况下，数学模型的构造不仅会使问题简单化，而且会启发学生对数学方法的认知，使学生的思维高度一种凌驾于题目之上.应用构造法解题能激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维.笔者从题目出发，从以下三个方面讨论构造法对学生数学思维的培养.
一、对类比思维的培养
类比思维是指在处理数学问题时，将该问题与已经成功求解过的问题做比较，找到二者的共同点，构建类似的数学模型来解决当前问题.构造法在培养学生类比思维上有积极的作用.如这道题：已知等式（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求证a+c=2b.分析：若直接将本题条件中的完全平方和两个一次因式的乘积展开，则不能轻松化简等式得到所证结论.相反，若将条件类比一元二次方程根的判别式Δ，则该题的证明就简单很多.证明过程：已知（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，可构造方程（a-b）x2+（c-a）x+b-c=0，若二次项系数为0，则a=b，结合已知条件易知a=b=c，从而a+c=2b;若二次项系数不为0，则a≠b，由方程根的判别式Δ=0（已知条件），即说明构造的方程有两个相等的实数根，观察方程系数发现a-b+c-a+b-c=0，故知方程根为x1=x2=1，可使用韦达定理建立根与系数的关系：x1x2=b-ca-b=1，即b-c=a-b，故a+c=2b.
再如这道题：已知不等式ax2+bx+4>0的解是-2
以上兩例均以构造方程为主线，将类比思维渗透其中.第一例要求学生在求证过程中将已知条件类比到一元二次方程根的判别式，第二例要求学生在求解过程中将一元二次不等式与一元二次方程做类比.整个构造的过程能巩固学生所学的知识，加深学生对一元二次方程的理解与认知，对培养学生的类比思维有促进作用.
二、对化归思维的培养
化归思维是指将一个数学问题运用已经学习的知识进行转化和归结，将原本复杂的问题由难化易，由繁化简.在应用构造法解题时，必要的转化和归结对数学模型的构造对学生有启发作用，熟练运用构造法解题对学生的化归思维有很好的培养作用.例如这道题：已知x和y都是实数，并且x=8-y，z2=xy-16，求证x=y.分析：若按常规思维，直接将x=8-y代入到z2=xy-16中，可化简得z2+（y-4）2=0.由两个平方和为0知各项都为0，得z=0和y=4;再由条件x=8-y可知x=4，从而x=y.若以构造法证此题，则可先对已知条件进行转化归结，将原条件化归为一元二次方程中的韦达定理形式的条件，然后构造满足该韦达定理形式条件的一元二次方程，即可完成证明.证明过程：由x=8-y得x+y=8①，由z2=xy-16得xy=z2+16②，构造满足①②的一元二次方程 t2-8t+z2+16=0.因为x，y是所构造方程的两根，所以判别式Δ=（-8）2-4（z2+16）≥0，即-4z2≥0，即z2≤0，由于z2≥0，因此z=0.将z=0代入判别式中得Δ=64-4（0+16）=0，即说明所构造的方程有两个相等的实数根，故x=y.
再如这道题：计算1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14的值.分析：此题虽是一道计算题，若按常规方法将多项式乘积展开，然后求值，则计算量太大，而且十分容易出错，不利于学生数学解题思路的拓展.如果在解题前仔细观察式子就会发现，所求是两个多项式乘积作差的形式，而且两个多项式乘积中的括号里有一部分是相同的，都是12+13+14，故可先对原式进行转化归结，然后构造参数，对参数化后的因式乘积化简，最后通过化简结果代入求值，这样就会简便很多.求解过程：令a=12+13+14，b=12+13+14+15，则原式化归为（1+a）b-（1+b）a=b+ab-a-ab=b-a=12+13+14+15-12+13+14=15.
以上两例都是先通过化归，对题目中所给的条件或原式进行一定的转化，将其归结为已经学习到的某一个知识点上，然后基于对该知识点的理解和应用对原题进行证明或求解.在第一例中，对比证明此题的两种方法不难发现，常规方法注重的是学生代入因式化简计算的能力及学生对平方和为0的结果的分析能力;而构造法培养的是学生对已知条件转化和归结的能力及对方程根与系数的认知与应用的逆向思维能力.此题能应用构造法证明的关键步骤是对已知条件的化归，基于化归后所得的韦达定理形式的条件，再去构造满足条件的方程，做进一步的分析论证.在第二例中，对比常规展开直接计算的方法和构造参数后得到的因式化简求值方法不难发现，构造法的计算量远远低于常规方法，该题中最重要的思想是化归，将原式进行化归后解题马上就豁然开朗.这两道题的构造法证明和求解过程在很大程度上能培养学生的化归思维，不失为课堂教学中的典型题.
三、对数形结合思维的培养
著名数学家华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”数形结合一直是中学数学中的巧妙解题思维之一.它是指在遇到数学问题时，通过观察和分析，发现可以画出相应的数学图形，在图形中展示各个变量之间的数量关系，然后应用图形的性质或定理求解、证明相关问题.
已有的文献表明，构造图形的方法对很多数学问题的解决有较大的应用价值，构造图形创新了中学数学的解题思路.笔者认为，在中学数学中，构造图形辅助解题不仅重在“巧应用”，还能启发和培养学生的数形结合思维.好的思维能引导学生举一反三，使学生遇到类似问题时会有意识地将代数问题转化为几何问题.如这道题：在△ABC中，AC=13，AB=5，BC=10，求△ABC的面积.分析：在初中阶段，已知三角形三边求面积，大多考虑使用海伦公式S=p（p-a）（p-b）（p-c）（p是三角形的半周长）.记a=10，b=13，c=5，所以p=12（10+13+5），由海伦公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），得S=p（p-a）（p-b）（p-c）=72.从上述解答过程看，海伦公式的使用确实能求解该三角形的面积，但是有两个地方值得注意：第一，该题使用海伦公式会面临较为复杂的代数计算;第二，海伦公式并不常用，目前初中生对海伦公式的记忆并不深刻.基于这两点原因，此题对于基础较为薄弱的学生来说可能无从下手，同时此题对会用海伦公式求解的学生来说是计算量较大的一道题，不容易得出正确答案.若用构造法解此题，则会十分简便.可以考虑构造一个正方形，用大正方形的面积减周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积.
图1求解过程：如图1所示，构造正方形DGCE，AD=1，DB=2，BG=1，AE=2，CG=3，CE=3.由勾股定理知AC=13，AB=5，BC=10，即△ABC满足题意.S△ABD=12×1×2=1，S△AEC=12×2×3=3，S△BGC=12×1×3=32，S正方形DGCE=3×3=9，所以S△ABC=S正方形DGCE-S△ABD-S△AEC-S△BGC=9-1-3-32=72.
再如这道题：已知0 a2+b2+a2+（2-b）2+（2-a）2+b2+（2-a）2+（2-b）2>42.分析：本题涉及的变量只有a和b，但在证明要求中含有很多根号，这给证明结论带来不小的困難.仔细观察后发现，可以使用构造图形的方法，以数形结合的思维解之.a，b都是大于且0小于2的数，因此可构造一个边长为2的正方形ABCD，在正方形相邻的两边上截对应的a，b长度，添加辅助线即可完成本题的证明. 图2证明过程：如图2所示，构造边长为2的正方形ABCD，其中AB=BC=CD=DA=2，在AB上取AE为a，在AD上取AG为b，过点E和点G作BC和AB的平行线交CD，BC于点F和点H，GH和EF的交点为O，连接AO，BO，CO，DO，BD，AC.因为AE=a，EO=AG=b，所以在Rt△AEO中，由勾股定理知AO2=AE2+EO2=a2+b2，即AO=a2+b2.同理在Rt△OFC中CO=（2-b）2+（2-a）2，在Rt△EOB中 BO=（2-a）2+b2，在Rt△DOF中DO=a2+（2-b）2.由三角形两边之和大于第三边，所以有AO+CO>AC，即a2+b2+（2-b）2+（2-a）2>AC=22+22=22①，同理BO+DO>BD，即（2-a）2+b2+a2+（2-b）2>BD=22+22=22②，①式加②式得： a2+b2+（2-b）2+（2-a）2+（2-a）2+b2+a2+（2-b）2>22+22=42. 以上两例通过构造图形的方法，将代数问题几何化，将原本较为复杂的代数计算或证明放到一个正方形中，结合勾股定理的应用，将问题由复杂转化为简单，十分巧妙.第一例通过构造图形，用大面积减小面积的方法取代了复杂烦琐的无理因式的乘积计算.第二例通过构造图形，以直角三角形的斜边长度分别表示不等式左边的四个代数式，然后由三角形的三边关系得到不等式的证明.这两道题的整个求解和求证过程中巧妙新颖、通俗易懂，在很大程度上拓展了学生的解题思路，有利于学生数形结合思维的培养. 四、结 语 通过以上论述不难得出，在中学数学中，应用构造法解题具有较好的便捷性和较高的技巧性.应用构造法解题能够启发学生思考问题的方向，对求解和证明相关问题有着很大的辅助作用.在教学中，教师要善于引导学生对题目条件多观察、分析和联想，引导学生对所学过的数学知识灵活运用，注重提高学生的构造能力.在应用构造法解题时，教师不仅要让学生真实体会到构造法解题带来的愉悦感，还要通过这些数学模型的构造过程，使学生的数学思维得到一定程度的培养和训练.在初中阶段，学生的类比、化归和数形结合的数学思维一旦养成，对学生今后数学学习有着很大的帮助，对提升学科核心素养也大有裨益. 【参考文献】 [1]梁淑秋.探索构造法在初中数学中的运用[J].宁德师范学院学报（自然科学版），2015（1）：89-91. [2]张传鹏.基于数学核心素养提升的构造法解题[J].中学数学研究，2018（4）：30-32. [3]朱海燕.运用“构造法”，创新数学解题思路[J].数学教学通讯，2017（7）：76-77，80.
