函数思维在中学数学解题中的应用研究

2020-01-09甘肃省张掖市山丹县南关学校童继红

天津教育 2020年33期

■甘肃省张掖市山丹县南关学校童继红

一、函数思维的概述

（一）函数思维的定义

首先，函数思维作为一种几个变量之间相互联系的形式，其本质在于数学理论体系当中的变化。这一概念不仅让数学这一学科从简单的理论架构变成了一种运动的思维模式，同时也提出了一个全新的理念叫作转化。这一理念不仅是中学数学最为核心的内容，也是学生掌握数学体系，为后续高中数学打下良好基础的关键内容。在众多的现代著作中，对于函数思维的定义说法不一，有些人对函数思维的理解是数学对象和其性质之间的相互关联，还有人将函数思维理解成在认知数学规律完善数学知识体系的过程中其本身形成的一种数学的逻辑思维方式。在解决数学问题的过程中，充分利用函数思维是解决部分数学问题的基础。

（二）函数思维的特征

从客观的角度来讲，函数思维可以归纳为辩证思维的一种形式，在数学体系当中想要通过多角度对解题方法进行梳理和转化，就需要辩证地去看待数学问题，并让学生掌握相应的解题技巧，利用动态思维理解中学数学的知识内容。在我国新课标的要求下不仅需要教师着重培养中学生的数学解题技巧，更需要让学生能够掌握相应的数学思维模式，提高学生钻研数学问题、解决数学问题的能力，学会用辩证的角度去看待数学，灵活地运用函数知识和技巧。对于中学数学而言，数学的教学内容具有明显的递进性，同时各章节知识结构之间也存在严谨的逻辑性。为了让学生能够更好地掌握函数思维，就需要针对数形结合和转换这两个概念加强普及，确保学生能够将代数和几何知识进行高效结合，从而获取更加高效且多元化的解题思路。

二、函数思维在中学数学解题中的应用策略

首先，函数思维在中学数学解题中的应用，需要让学生能够明确初中阶段的数学问题在利用函数思维解题的过程中，需要掌握相应的等式、方程、排列组合以及数列和极限等元素的应用。并通过相应的解题技巧如配方法、换元法解方程和不等式，在此过程中针对一次函数、二次函数需要学生能够充分认知数形结合、分类讨论、等价交换等函数思维的运用渠道和方式。本文将结合例题进行函数思维的解析，确保学生能够理解，在解决数学问题时要根据相应条件，建立相应的函数关系并通过转化的思维求解。

通常来讲，在一个变化过程中如果有两个变量分别为x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。而形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

例1：已知y与x+3成正比例，且x=1时，y=9。

①求y与x之间的函数表达式。

②若点（a，3）在函数图像上，求a的值。

分析：因为y与x+3成正比例，可设y=k（x+3），把x=1，y=9代入解得k的值，即可求得y与x之间的函数表达式，表达式求出，把点（a，3）代入表达式，可求出a。

解：①设y=k（x+3），把x=1，y=9代入得

以上，就是正比例函数在求解过程中，使用的代入法函数思维，通过带入求解的方式来表述函数表达式。

例2：已知y-1与x成正比例，当x=-2时，y=4。

①求y与x之间的函数表达式；

②当x=3时，y的值是多少？

③当y=-4时，x的值是多少？

解析同上。

解：①由题意可设y-1=kx，把x=-2，y=4代入得4-1=-2k，解的

在解决此类问题的过程中，教师需要着重向学生强调二次函数解析式以及自变量取值范围的关系，并着重向学生概述图像抛物线在解题中的运用通过针对抛物线和坐标系焦点的关系。让其能够利用开口方向解决相应问题，当学生能够熟练掌握二次函数的抛物线位置时，就能够灵活运用各个点与点之间的位置并进行求解。

例3：若关于x的函数y=（m+2）x（|m|-1）+n+5是正比例函数，求m+n得值。

分析：正比例的函数表达式为y=kx，自变量的系数不能为0且自变量的次数为1，所以有m+2≠0且

|m|-1=1；

因为成正比例，所以常数项应为0，所以n+5=0；

解：由题意得|m|-1=1且m+2≠0，

解得m=2；

又n+5=0，所以n=-5；

所以m+n=2-5=-3。

在解决上述问题的过程中，教师需要着重向学生强调正比例函数与反比例函数之间的关系，并通过分享正比例函数与反比例函数对照表的方式，让学生能够了解其函数关系和图像之间的关联。并将直线、双曲线，经过原点和与坐标轴没有交点这两个特性进行掌握，并充分结合函数思维，让学生根据不同的函数形式帮助其在解决问题的过程中，对图像位置以及函数性质进行概括，提高其解题正确率。