论数学思想方法在高中函数教学中的有效渗透

■甘肃省张家川县第二高级中学 王小刚

数学思想方法作为一种有效的教学手段，在数学知识教学中，数学思想方法的有效渗透，可促进学生数学知识的理解，使学生了解函数本质，引导学生运用数学知识解决现实生活中的问题，有效促进学生数学综合素养的提高。接下来，我主要以高中函数教学为例，具体分析数学思想方法的有效渗透，旨在有效提高高中函数教学质量，促进学生全面发展。

一、高中函数教学中有效渗透分类讨论思想

高中函数教学过程中，分类讨论思想方法的有效渗透，其立足点是数学具体对象的本质异同。分类讨论主要指对数学具体对象按照本质的异同，进行种类的合理划分，最终得到最优解。以高中函数定义域试题为例，分类讨论思想的有效渗透，可通过函数底数讨论，确定函数自变量，然后借助分类讨论思想，逐步完成不同自变量对面的函数性质来达到，如此既能保证学生思维缜密，引导学生更加严谨地对待函数问题，又有利于函数问题的解决。同时，分类讨论可将函数问题整体划分为若干小问题，随后对若干小问题进行逐一解决，以此降低函数问题的解决难度，最终帮助学生有效解决函数问题。在此过程中，分类讨论思想方法的有效应用，一方面能降低的问题难度，促进学生理解；另一方面还有助于锻炼学生的思维能力，促进学生能力的发展。

例：已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点(1，2)。若a*b*c=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。教师在讲解此问题时，需基于问题本质，从可能出现的若干种情况进行分类讨论，在具体讨论过程中，教师需围绕a*b*c=4，将a、b、c 的值进行分类讨论：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2 矛盾。∴a＞0。∵b+c=2-a，b*c=4/a，∴b，c 是一元二次方程x2-（2-a）x+4 a=0的两实根。∵△=(2-a)2-4×4/a≥0，∴a3-4a2+4a-16≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，故a≥4。∵a*b*c＞0，∴a，b，c 为全大于0 或一正二负。①若a，b，c 均大于0，∵a≥4，与a+b+c=2 矛盾；②若a，b，c 为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，∵a≥4，故2a-2≥6 当a=4，b=c=-1 时，满足题设条件且使不等式等号成立。故|a|+|b|+|c|的最小值为6。基于上述解题过程，可知教师的解题思路，在分类思想的有效渗透下，主要将a，b，c 进行分类讨论，并引导学生提出不同假设并进行问题答案的讨论，得出不同结果，最终结合题目已知条件，最终确定函数的最小值。在此函数解题的过程中，分类讨论思想的应用，主要是根据对象的异同，将复杂函数问题通过划分为若干小问题，简单化函数问题，以此促进学生问题分析能力与问题解决能力的提高。同时，问题分类讨论有助于锻炼学生的逻辑思维能力。

二、高中函数教学中有效渗透数形结合思想

高中函数教学过程中，数形结合思想应用十分广泛。函数关系本身属于抽象属性关系，通过直观方式加以呈现，更有利于解决函数问题。简单来说，教师围绕函数问题，通过解读函数的已知条件，以直观的数字与图形相结合的方式呈现出来，让学生通过观察图形得出函数问题的答案。这种方法不仅可以降低函数问题的难度，还有利于学生直观思维的培养。

例：已知点(-1，y1)(-3，y2)(2，y3)在y=3x2+6x+2 的图像上，则y1，y2，y3的大小关系为( )。

分析过程：教师指导学生结合函数：y=3x2+6x+2=3(x+1)2－1画出图像，引导学生结合图像观察，最终得出抛物线对称轴为直线x=-1，进而得出当x=-1时，y 存在最小值。随后由图像得出：x=2 时y3的值，比x=-3 时y2值大。因此，本函数题正确答案为y2＞y3＞y。

函数问题解决过程中，所运用的数学思想方法，即数形结合的思想，教师引导学生将抛物线y=3x2+6x+2 画成图像，将问题与图像相结合，最终通过图像确定y1，y2，y3三个点数值大小关系。数形结合主要是将问题中的数量关系与直观图像相结合，一方面有助于学生理解函数问题；另一方面有助于培养学生的抽象思维能力，为学生的全面发展夯实基础。

三、高中函数教学中有效渗透函数与方程思想

高中函数教学过程中，函数与方程思想的有效渗透，便于教师更好地引导学生解决函数问题，丰富学生函数问题的解决方法，促进学生函数问题解决能力的提高。

例：倘若曲线y=2x+1与直线y=a没有公共点，求a的取值范围。

分析过程：教师在讲解此函数问题时，可以基于方程角度画出方程y=2x+1 与方程y=a 的图像，通过观察两个方程图像，就可以得出a的取值范围。除上述数形结合的方法之外，还可以将其转化为方程a=2x+1 无解的问题。∵函数y=2x+1 值域为(1，+∞)，∴当a≤1，－1≤a≤1 时，方程a=2x+1 无解，以此得出a 的取值范围。在此函数问题解决的过程中，以数形结合思想进行求解，主要通过方程转化为具体图像，然后通过观察图像，得出最终答案。而在此函数问的题解答过程中，则是以方程思想来解决问题，以已知方程条件为依据，组成新的方程解决问题，能够有效培养学生的应变能力。

四、高中函数教学中有效渗透举一反三思想

高中函数教学中，举一反三思想的有效渗透，便于教师更多地接触典型例题，且有助于学生从多个维度思考一个问题，从中找到有效的解题方法。尤其是在函数教学中，举一反三思想方法的有效运用，可以让学生更加熟练地掌握一类函数的解题方法。同时，数学教师在授课过程中，也需要尽可能给学生拓展一些解题方法，让学生在解题过程中，真正学会举一反三，能够将数学思想方法灵活运用到函数问题的解答过程中。

例如，求直线y=x与函数y=sinx的图象的交点个数。

分析过程：数学教师在讲解此类函数问题时，可以从举一反三的角度延伸问题，将所求函数图像交点个数延伸到交点具体坐标，或者交点是否在同一个平面上，交点组成方程及其图形等。此时，数学教师在对上述延伸问题分析时，需鼓励学生独立思考，想一想还有什么问题可以由函数图像交点延伸而来。同时，数学教师鼓励学生在原先题目的基础上添加与之相关的条件，或者直接运用原题目的已知条件进行求解问题的答案。这样一来，学生即可在数学教师的指导下，多维度地思考数学函数问题，快速解决函数问题：设f(x)=x-sinx，x≥0，对f(x)求导得f′(x)=1-cosx，故f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0；当x＞0时，f(x)＞0，又因为y=x与y=sinx都是奇函数，所以x＜0时，无交点，故只有一个交点。在整个过程中，学生的思维得到充分发散，函数问题的解决十分顺利，且有效锻炼了学生的思维能力。

五、结语

总之，高中函数教学过程中，数学思想方法的有效渗透，能够有效降低函数问题的难度，进而促进学生函数解题能力的提高。但是高中函数问题涉及的数学思想方法并不唯一，需教师融合多种数学思想方法，有效解决函数问题，才能有效促进学生数学能力的提高。