数学实验在小学数学“图形与几何”中的应用

■江苏省扬州市江都区仙女镇中心小学 薛 群

“图形与几何”是小学数学的重要组成部分，它包括“图形的认识”“图形的测量”“图形的运动”与“图形的位置”四个方面的内容。对于“图形与几何”这个领域的版块知识教学，如果仅仅通过教师的“讲”、学生的“听”是很难理解、掌握知识的内涵的。如果在“图形与几何”教学中引入数学实验，不仅能让学生理解图形与几何知识，而且能帮助学生积累数学经验、发展空间观念、空间想象力等。数学实验是“图形与几何”版块知识教学的“脚手架”，有助于学生主动探索图形与几何概念，帮助学生直观感知图形与几何的数学本质，动态建构图形与几何的意义。

一、“理解型”实验：深化“图形与几何”知识理解

“图形与几何”中的概念是相关的“图形与几何”的知识基础。在“图形与几何”概念教学中，通常的教法就是，给概念层层下定义，让学生理解概念的种属关系。这种“下定义”的教学方式，能让学生“知其然”，而不能让学生“知其所以然”。而如果我们运用数学实验，变学生静态的“看”“听”为动态的“做”，就能让学生感悟图形与几何中的相关概念的本质。正如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔所坚持认为的，“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现并创造出来”。

比如教学《三角形的认识》（苏教版四下），教材的思路是“观察物体中的三角形，认识三角形的特征，在方格纸上画三角8形，结合三角形的特征说出三角形的概念”，遵循这样的教学思路的教学是一种“描述性教学”。描述性教学不能让学生深刻领悟图形与几何的概念本质。我在教学中，实施“发生式教学”，具体而言就是让学生通过“做三角形”，深化对三角形概念的认知。教学中，我用“主问题”导引学生实验。

1.什么样的图形叫作三角形？

2.有3个角、3条边的图形就是三角形吗？

3.怎样的图形才能叫三角形？

三个问题层层深入，逐步指向三角形概念的本质。学生彼此之间相互对话、相互质疑，从而暴露出学生原有经验中的认知不足。为了让学生形成“形概念”，理解“形特征”，体验图形的多方面的性质（比如组合性质、稳定性质、度量性质等），教师应当站在发生学的视角上，引导学生经历几何概念的生成过程。只有经历了几何概念的生成过程，学生才能理解图形的特征，感受、体验到图形的多方面性质，从而洞悉几何知识的本质属性。

二、“探究型”实验：深入“图形与几何”知识探究

“图形与几何”板块的内容，不仅包括图形与几何的“概念”，而且包括图形与几何的定理、公式等。“探究型”实验，能助推学生深入“图形与几何”公式的认知。所谓“探究型”实验，是指“学生不知道结论，借助一定的学具、实践活动等而展开的有目的、有方向、有针对性的探索”。通过“探究型”实验，学生能找寻到探索解决问题的思路。在“探究型”实验中，教师要从“控权”转为“放权”，助推学生从“操作”走向“内化”，让学生从“现象”认识到“本质”。

比如教学《钉子板上多边形》（苏教版五上）时，一位教师这样引导学生探究：多边形的面积与什么有关？学生通过观察，有的认为与多边形内的钉子数有关，有的认为与多边形外的钉子数有关，还有的认为既与图形内的钉子数有关，又与图形外的钉子数有关。在此基础上，教师让学生探究“图形内的钉子数为0”的图形，探究“图形内钉子数为1”的图形，探究“图形内钉子数为2”的图形，等等。这样的教学，学生完全被教师所控制，他们没有自主思考、探究的权力。

我在教学中充分赋予学生思考的时空：多边形的面积与图形内、图形上的钉子数有怎样的关系呢？你们准备怎样研究？这样经过交流，学生认为可以借用科学中的“对比实验”的方法，即控制一个变量，研究这个变量的变化会导致怎样的变化。于是，学生小组间展开研讨，经过商议，渐渐达成共识，即先让图形内的钉子数为0，探究多边形的面积与图形上的钉子数的关系。

再固定图形内的钉子数比如1 个，研究多边形的面积与图形上的钉子数之间的关系，如此等等。最好探寻多边形的面积与图形内的钉子数以及图形上的钉子数之间的关系。这样的实验计划，是学生自主商议的结果，因而对学生更具召唤力。在这个过程中，学生主动地确定主题、制定方案、实施方案、调整方案，并且通过收集、整理、分析数据，自主探究出“皮克定理”。在图形与几何的探究型实验过程中，学生一开始的探究可能比较盲目、茫然，作为教师要主动、适当、适时地介入，助推学生发现规律，建构图形与几何的公式。只有让学生自主思考、探究，学生才能深刻理解几何对象的内在属性，从而提升学生的几何思维水平。在这个过程中，学生自然会从图形与几何对象的外在的、表面的、直观的现象，深入深层的内核、本质。

三、“验证型”实验：深刻“图形与几何”的知识猜想

在图形与几何定理教学中，教师要引导学生积极猜想，尤其是一些合情性的推理等。有些图形与几何的定理是一些超验性的定理，学生通过经验性操作，只能逼近这种超验性知识，触摸到其本质。因此，对于这一类很难通过学生探究获得的知识，教师可以先让学生猜想，然后组织学生验证。通过验证，引导学生进行“再发现”“再创造”“再建构”。

以《圆的面积》（苏教版五下）教学为例，《圆的面积》的教学这节课常常让教师十分纠结，究其根本，一方面是因为“圆的面积”的推导不同于其他直线图形面积的推导，其他的图形都可以用“剪拼法”或“倍拼法”严格地进行推导；另一方面，圆的面积公式的推导与圆的周长的学习经验衔接不够。许多教师往往以“拼成的图形近似于长方形，而且对圆平均分的份数越多，圆就越接近长方形，最后就是一个长方形”的姑息性引导不信任，于是总是有部分学生质疑：近似于长方形不等于长方形啊？”课堂教学总让人有所唏嘘。我认为，对于这一蕴含“极限思想”的图形与几何知识，应当采用“验证型”的实验，充分发挥学生直觉思维、直觉推理的作用。

教学中，教师可以引导学生进行合情猜想：圆的面积与什么有关？圆的面积与直径、半径之间有怎样的关系呢？在此基础上，教师可以将大小不同的圆放置到方格图之中，运用数方格的方法初步探究圆的面积与半径、直径的比值是否是一个固定的数？圆的面积与半径的平方也就是正方形的面积是否是一个固定的数？这一探究过程类似于圆周率实验探究过程。在学生通过粗线条的探究对圆的面积与半径的平方的关系形成基本认识后，教师可以再次组织学生进行实验探究，验证圆的面积与半径的平方之间的关系。通过验证，学生就能自主建构圆面积的计算公式。

“验证型”数学实验，是学生在对结论已经初步认识的前提下，通过实验操作，对结论的正确性予以确证的过程。通过这一“确证”过程，能深化学生对图形与几何知识的本质认知。“验证型”数学实验，不仅有助于发展学生的合情推理、合情猜测等的能力，更能积累学生的数学活动经验，提升学生的数学探究力，发展学生的数学核心素养。

著名数学家欧拉说：“数学这门学科，需要观察也需要实验。”作为具有直观性、探索性和创造性的“图形与几何”版块内容的教学，不是通过教师的机械讲解所能奏效的，而是需要学生展开探索性、验证性的学习。作为教师，要找准“图形与几何”教学内容与“数学实验”连接点，引导学生有的放矢地开展数学实验，从而不断地提升学生的学习能力，发展学生的数学核心素养。