基于MFD的模拟超饱和路网交通控制策略优化

2020-01-09朱丽叶

武汉科技大学学报 2020年1期

朱丽叶，张勇

(苏州大学城市轨道交通学院，江苏苏州，215131)

随着交通出行的快速机动化，城市道路交通拥堵日趋严重。然而，当城市道路可改造空间有限时，采用交通信号控制来缓解城市常发性超饱和交通堵塞几乎是唯一的选择。传统的区域交通控制策略主要是围绕减少车辆通过交叉路口的饱和度、排队长度或者延误时长而展开, 以控制路段上车辆数最小化来保证控制策略的最优,该控制策略在缓解交通拥堵方面取得了一定的效果，但是还缺乏对路网整体通行效率的优化控制。交通流宏观基本图(Macroscopic Fundamental Diagram,简称MFD)的控制思路从理论上证明了在路网上的车辆数量与离开路网的交通流量呈现单峰的关系[1-2]，这一发现对超饱和交通控制具有重要的意义。在实际路网控制中，为了避免超饱和交通的影响，相关控制方法会将未饱和与过饱和两种控制状态结合考虑，进行不同状态下控制方案的变换,或者以某种稳态作为参照进行反馈调节控制，从而避免路网出现拥堵，例如，Dinopoulou等[3]基于输入-输出模式建立路段车辆数的状态方程，并以路段累积车辆数为0时的稳态控制方案作为参照，提出了可自动响应当前交通需求并进行反馈调节的TUC控制策略。

目前，MFD主要用于边界控制，研究方法可以分为两大类,其中第一类是解析研究区域的MFD形态后再进行堵塞区域的优化控制，比较典型的控制方法为Bang-Bang控制[4]，但是在实际控制过程中，由于控制方法对控制边界的强烈依赖，对于多区域的共用边界控制将成为其控制难点；第二类研究方法是考虑到实际控制区域路网MFD的不确定性，对控制系统进行鲁棒调节，但其控制器设计难度较大。尽管MFD可以直接描述路网系统的累积车辆数和输出效率之间的关系，但对系统的同质性要求很高，在实际路网中，由于路网基础结构(包括公交专用道、单行线等)不同，会使区域的MFD形态产生不同程度的发散，因此难以找到普适性的MFD及控制方法，有必要开展基于MFD的超饱和路网交通控制策略优化研究。为此，本文以堵塞区域路网各条路段上行驶的车辆数作为状态变量，建立路网交通的状态方程，分析路段上车辆数变化规律；同时，基于交通流MFD，以路网中路段累积车辆数作为控制目标，建立关于堵塞区域路网系统的离散状态优化控制模型，并将该模型在某城市新区进行模拟算例应用，以期为基于MFD的城市交通路网区域实时信号控制提供参考。

1 模型构建

1.1 控制策略

图1 路网中车辆数累积量与通行率关系图

本文从路段层面借鉴MFD的控制思想，在保证路段车流不出现拥堵的前提下，使路网区域的车辆分散到各路段上，形成路段的最优车辆数累积量。根据车流的流量-密度关系模型，当车流在非拥堵状态达到最大密度时，其输出流量也最大，这与路网系统MFD属性所描述的关于路网累积量和路网输出率之间的关系不谋而合。很显然，如果所有路段的车流状态都能达到流量-密度模型的最高点，路网的信号控制将不必存在。在关于路网MFD属性的研究中发现，路网系统的最优车辆数累积量与其本身结构和基础设置有关，其最优车辆数累积量是一个定值，且远小于所有路段达到最优车辆数累积量的总和。因此，这种基于路段车辆数累积量的设置方法可以保证路网系统达到最优车辆数累积量，同时路网中各路段也不会出现堵塞现象。

1.2 交通流建模

根据车辆守恒原理，可以写出某路段上(k+1)T时刻的车辆数，其路段的车辆数等于kT时刻的车辆数加上在T时间流入的车辆数和流出的车辆数差值，即：

xZ(k+1)=xZ(k)+T[ΔuZ(k)+ΔdZ(k)]/3600

(1)

ΔuZ(k)=uZ(k)-u′Z(k)

(2)

图2 路段及关联两交叉口交通流分布(单向)

Fig.2 Traffic flow distribution of road segment and section linked of two intersections (one-way)

ΔdZ(k)=dZ(k)-d′Z(k)

(3)

式中:k表示控制状态指标；T表示控制时间步长，s；xZ(k)表示路段Z在kT时刻的车辆数；uZ(k)、u′Z(k)分别为路段Z在kT时刻的输入端和输出端的实际流量值，veh/h；dZ(k)、d′Z(k)分别为在kT时刻路段Z中间位置的实际流入和流出流量值，veh/h；ΔuZ(k)表示路段Z在kT时刻产生外生流量差值，veh/h；ΔdZ(k)表示路段Z在kT时刻产生内生流量差值，veh/h。

车流在路网中运行时涉及到路网中路段和交叉口的相关拓扑关系，为了简化模型，将对车流通过交叉口时的有关相位变换过程、车流运行过程进行如下假设：第一，在控制的初始时刻路网中有一定的车辆数累积；第二，任意交叉口j的周期时长固定且已知，其值为C0j，每周期的总损失时间固定且已知，其值为Lj,那么，交叉口j在每个周期的总绿灯时长固定且已知，即Cj=C0j-Lj；第三，任意路段Z的输出车流通过交叉口的饱和流率为S；第四，各交叉口的相位均为固定的四相位组合模式，没有优先相位或其他特殊相位。

当路段上、下游交叉口的控制周期固定，相关相位已知，根据输出车流的转向比(r)和绿灯时间(g)的对应关系，并用路段连接的上、下游交叉口代替原路段的名称，可以将公式(1)写成带有一定结构的矩阵相乘的形式，即基于输入-输出模式的状态方程为：

xmn(k+1)=xmn(k)+

(4)

如果将路段的上、下游节点拓展到路网范围，可以进一步写出符合路网拓扑关系的离散状态方程为：

X(k+1)=X(k)+B(k)G(k)+TΔD(k)

(5)

式中：X(k)表示路段车辆数状态变量矩阵，矩阵大小和结构与路网结构和所包含路段的数量有关；B(k)为流量矩阵，各元素表示特定路段上输出车道组的流量大小，矩阵大小以及拓扑关系与路网结构有关；G(k)为控制变量矩阵，矩阵元素表示路段输出车流通过交叉口时绿灯相位时长，矩阵结构与B(k)对应；ΔD(k)为内生流量矩阵，矩阵形式和X(k)相同。

1.3 控制模型与求解

当确定各路段车辆的最优累积量参照值后，根据累积量最优的控制思想，则可以采用一个二次多项式形式表示最小化控制目标为：

(6)

式中：μmn表示交叉口m、n连接路段上最优车辆数累积量参照值，veh。将控制目标添加相应的权重系数矩阵Q，可以写出该模型的控制函数：

(7)

式中:NK表示总的控制步数；状态变量矩阵X(k)满足公式(5)；路段车辆累积量参照值矩阵μ需根据路网系统交通状况进行调整，以保证路网系统稳态为基础，尽可能提高路网的输出效率；在进行优化控制的过程中，权重系数矩阵Q和路段车辆累积量参照值矩阵μ将直接影响优化控制的结果。根据MFD的路段累积量最优的控制思想，优化控制模型中各路段车辆数均需保持在最优累积量的附近波动，由此，权重系数矩阵Q可以取单位矩阵。

AG(k)-C=0

(8)

式中:A为G(k)矩阵的系数矩阵，其矩阵形式与交叉口各相位以及G(k)矩阵的结构有关；C矩阵表示各交叉口的总绿灯时间，由交叉口的周期时长和总损失时间决定，当周期时长和总损失时间已知，则C为常数矩阵。当交叉口设置各相位绿灯时长时，需要考虑最小绿灯时间约束，即：gj,i≥gj,i,min,i∈Fj，则控制变量矩阵G(k)的线性不等式约束用矩阵的形式可以表示为：

Gmin-G(k)≤0

(9)

式中:Gmin为gj,i,min的矩阵形式，矩阵结构与G(k)相同，其中，gj,i,min表示交叉口j的绿灯相位最小时长，当交叉口各绿灯相位的最小绿灯时长已知，则Gmin为常数矩阵。

由公式(5)、(7)、(8)、(9)构成了有约束的离散状态优化控制模型，且状态变量矩阵X(k)的初始状态已知。由于该模型是凸函数，因此模型的局部最优解就是全局最优解。根据庞特里亚金极小值原理，可通过构造模型的哈密尔顿函数来求模型的极小值，引入拉格朗日乘子λ(k+1)T和KKT因子η(k)T、σ(k)T，构造模型的哈密尔顿函数H(k)，则有：

λ(k+1)T[X(k)+B(k)G(k)+TΔD(k)]

+η(k)T[AG(k)-C]+σ(k)T[Gmin-G(k)]

(10)

再根据哈密尔顿函数和约束条件，建立极值条件，寻找哈密尔顿函数的K-T点，则有：

B(k)G(k)+TΔD(k),X(1)=X0

(11)

(12)

(13)

σ(k)T[Gmin-G(k)]=0,σ(k)≥0

(14)

优化模型通过求解每个状态的K-T点来得到控制变量矩阵G(k)在每个状态的最优解。本文将采用梯度投影法，通过计算控制变量矩阵G(k)当前可行解的有效约束矩阵和其关于哈密尔顿函数H(k)的偏导(见公式(13))所构成的投影矩阵来确定当前的迭代方向，并根据当前可行解和迭代方向运用黄金分割法寻找当前最优迭代步长，以此确定新的可行解，直到新的可行解满足KKT条件(见公式(14))，此时所得的可行解即为模型的K-T点。具体求解步骤可参考文献[5]。

2 实例分析

本次实验区域的路口均为十字形路口，采用传统的四相位、定周期控制。定时配时方法为：根据规划高峰小时数据，用Webster模型计算各交叉口高峰小时车道组饱和度，并确定配时方案，各交叉口周期固定为C=120 s。采用本文上述控制模型，并根据路网外围输入流量矩阵B(k)实时优化控制方案。

2.1 试验区域概况

以襄阳市东津新区为试验区域，根据MFD区域的划分方法，路网范围为5～10 km2，试验控制区域路网如图3所示。从图3中可以看出，该区域中共有6条相交道路、9个内部控制交叉口、12个外围连接交叉口，区域总面积约为6 km2。交叉口连接的路段长度均在400～1100 m范围内，路段的单向车道数为2～3条。在本研究中，不考虑控制路网外围连接的下游输出路段对路网系统的影响，均用单一的有向线段表示路网外围连接的输出路段。为了模拟高峰小时的超饱和路网流量，将拟定路网外围连接路段的单车道平均流量，在模拟时间内，外围路段的平均输入流量会随着时间波动，路网输入流量随时间变化的曲线如图4所示。图4中采用间隔4 min的流量输入变化来模拟高峰小时路段流量流入的波动情况，路网外围的输入流量每4 min变化一次。在此模拟过程中，车流经过交叉口的转向比例与规划高峰小时流量的转向比例相同。

图3 试验控制区域路网

图4 路网输入流量随时间变化曲线

2.2 结果分析

在给路网加载高峰小时的输入流量后，用Webster定时控制方案对路网进行控制，路段上行驶车流密度随时间变化曲线如图5所示，图例表示路段的名称，例如X1-2表示从上游交叉口1到下游交叉口2的路段。从图5中可以看出，路网中部分路段的单车道平均车流密度超过了40 veh·km-1，甚至达到了120 veh·km-1，表明该路段出现了堵塞，路网达到超饱和,拥堵路段密度的变化情况与文献[4]中关于路段是否属于堵塞区的车流密度范围界定基本相符。

(a) 路段X1-2、 X1-4、X2-1、X2-3、X2-5、X3-2 (b)路段X3-6、 X4-1、X4-5、X4-7、X5-2、X5-4

图5 Webster定时控制下路段上行驶车流密度随时间变化曲线图

Fig.5 Traffic density curves of the road segment with time in Webster timing control

在运用优化控制模型计算最优的控制变量和状态变量之前，首先要确定与该路网相适应的各路段最优车辆数累积量参照值(μmn)，确定原则如下：①由路段的长度和车道数计算初始车辆数累积量参照值μmn(0)，此时假设路网中的车辆数累积量均匀分布在各路段上，该车辆数累积量参照值的单车道平均密度取值范围为60～70 veh·km-1，用上限计算初始车辆数累积量参照值μmn(0)=am-n×lm-n×70，其中am-n、lm-n分别表示上下游交叉口m、n连接路段的车道数和路段长度；②根据Webster定时控制模拟的路段拥堵情况，对拥堵路段的单车道平均密度进行适当的折减和调整，且单车道车流密度维持在20～40 veh·km-1范围内，调整结果如表1所示。

表1 路段车辆数累积量参照值调整结果

车辆数累积量参照值矩阵μ与路段车辆数矩阵的结构相同，将调整后的μ矩阵用于优化控制模型，模拟路网在相同外围流量输入下车流密度随时间变化曲线图如图6所示。从图6中可以看出，在模拟时间内路网中各路段的单车道平均流量基本保持稳定的状态，绝大多数路段的单车道平均车流密度在40 veh·km-1以下，部分路段超过40 veh·km-1,但均保持在60 veh·km-1以下，其路段上的车流量保持在较高的输出水平而不出现拥堵。由此表明，在模拟外围输入流量下，基于路段最优累积量参照的优化控制模型可以维持路网的稳定运行，避免控制区域发生拥堵。

(a) 路段X1-2、 X1-4、X2-1、X2-3、X2-5、X3-2 (b)路段X3-6、 X4-1、X4-5、X4-7、X5-2、X5-4

图6 优化控制下路段上行驶车流密度随时间变化曲线图

Fig.6 Traffic density curves of the road segment with time in optimized control

将路网外围的车辆输入流量放大1.3倍后，用Webster定时控制方案和优化控制方案再次对路网进行控制并模拟路网中各路段的车辆数，不同输入流量下路网车辆数变化趋势如图7所示。从图7中可以看出，路网外围车辆输入流量放大1.3倍后，路网中车辆数变化与原流量输入时车辆数变化趋势一致，即优化控制方案下的路网累计输入和累计输出车辆数均比Webster定时控制方案下的累计输入和累计输出车辆数要大，而且优化控制方案下路段上车辆数累积量较Webster定时控制方案下车辆数累积量要小，由此表明，路网系统在优化控制方案下对车辆的输出效率比在Webster定时控制方案下车辆的输出效率高。