三维MHD方程在BMO空间中的正则性准则
2020-01-09任玉冰丁丹丹王昌花
任玉冰， 丁丹丹, 王昌花
(1.山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 255049;2.张店区第九中学，山东 淄博 255040)
1 模型和主要结果
三维MHD方程如下
(1)
式中：u和b分别描述了流体速度和磁场；p是标量压力项；ν是粘性系数；η是磁扩散率系数；u0和b0是给定的初始流速和初始磁场，满足·u0=·b0=0。
三维MHD方程弱解整体存在性是已知的，但三维MHD方程整体弱解的正则性(即正则性准则)是一个公开的问题。探索和研究方程(1)弱解的正则性影响因素是偏微分方程研究中的重要课题。
He等[1]获得了关于速度场u的正则性准则：
(2)
Ji等[2]证明了正则性准则:
(3)
近期还有关于三维MHD方程(1)正则性准则的刻画[3-4]。
利用能量估计方法和Littlewood-Paley理论，本文进一步研究三维MHD方程在BMO空间中弱解正则性准则的刻画。主要结果如下：
定理1 设T>0,u0,b0∈H1(R3)且·u0=0,·b0=0。假设(u,b)是方程(1)在R3×(0,T)上的弱解，并且满足
则下面的不等式成立
注记1式(3)中q,m=时有p,l=2,即研究了，由于LBMO，从而本文的结果推广了式(3)中的正则性准则。
2 预备知识
为了定义相关空间，本文首先给出Littlewood-Paley分解理论[5]。Littlewood-Paley理论在流体动力学方程中有重要的应用，其中之一是频率空间的局部化，这种局部化方法的优点在于对于其Fourier变换支在球或环上的分布，可以充分利用Bernstein估计，实现求导或微分运算的代数化。
设φ、χ分别是支集在C1、C2上的径向速降函数类，对于傅立叶逆变换F-1，令
其中
于是定义齐次局部化算子：
下面给出几个函数空间的定义。
定义1 Besov空间
其中
定义2 Triebel-Lizorkin空间
其中
定义3 BMO空间
(4)
由式(4)可知
(5)
下面给出本文用到的Bernstein不等式。
引理1假设1≤p≤q≤，对任意函数f有
其中C是一个独立于f的常数。
3 定理1的证明
首先，将方程(1)中前两个方程两端分别与Δu,Δb作L2内积，有
上述两式相加可得
(6)
然后对式(6)右端四项分别进行处理。 对于I，利用分部积分法可得
其中
对于I3，由不可压条件divu=0可知∂3u3=-∂1u1-∂2u2，从而
(7)
对于II,利用分部积分法可得
II1+II2
对于III，利用分部积分法可得
对于II2与III2，本文有
此时分别处理II1与III1。对于II1利用与I1相同的方法，可得
(8)
对于III1，利用与I1相同的处理方法，可得
(9)
由式(8)和式(9)可得
(10)
对于IV， 利用与I相同的处理方法，可得
(11)
将式(7)、(10)和(11)代入式(6)中可得
由上式可得
对于合适的整数N，有
进一步，N满足如下关系
可以得到
对上式从0到t进行积分并利用Gronwall不等式可以得到
定理1得到证明。
