与广义Bessel函数相关的解析函数类

董秋月，张 恒

(扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

1 基本知识

1.1 广义Bessel函数

第一类广义Bessel函数w为二阶线性齐次微分方程

z2w″(z)+bzw′(z)+(cz2-a2+

a(1-b))w(z)=0

的特解，其表达式为

w(z)=wa,b,c(z)=

其中a,b,c,z∈C,且c≠0。

利用第一类广义Bessel函数，本文定义函数φa,b,c:C→C为

利用Pochhammer符号[1-3]

(1)

式中：n=1, 2,…；且(k)0=1。φa,b,c(z)可表示为

(2)

(3)

式中：k≠0,-1,-2,…,φk,c(z)在C内解析，并且φk,c(z)满足二阶线性微分方程

(4)

特别地，φk,c(z)具有递推关系

(5)

1.2 微分从属与解析函数类

Al-Dhuain等[4-7]借助微分从属的方法定义和研究了解析函数类，许多学者也证明了解析函数类的包含关系及其他性质，微分从属被广泛地运用于多种解析函数类性质的研究。由此，本文考虑与广义Bessel函数有关的变换φk,c(z)的相应性质。

设A表示在开单位圆盘Δ={z:|z|<1}内具有形式

的全体解析函数构成的函数类。

设函数f(z)和g(z)在Δ内解析，若存在Schwarz函数w(z)，使得f(z)=g(w(z))，则称f(z)从属于g(z)，记作f(z)g(z)。进一步，若g(z)在Δ内单叶，则f(z)g(z)⟺f(0)=g(0),f(Δ)⊂g(Δ)。

定义1[7-8]设Q表示在∂ΔE(q)上的单叶解析函数q(z)构成的函数类，其中

且对于ζ∈∂ΔE(q), 有min|q′(ζ)|=ρ>0。

特别地，当q(0)=a时，记Q(a)=Q0。

定义2[9]设Ω⊂C,q(z)∈Q,n∈N{1}。 若函数ψ:C3×Δ→C满足条件：

r=q(ζ),

s=mζq′(ζ),

引理1[10-12]设Ω⊂C,ψ:C3×Δ→C, 并满足条件：当σ≤-(1+ρ2)/2,σ+μ≤0,ρ为实时，有ψ(iρ,σ,μ+iv;z)∉Ω。若p(z)在Δ内解析，p(0)=1且ψ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)∈Ω,则Rep(z)>0。

2 函数属于函数类的充分条件

(6)

若A,B,k和c满足不等式

(7)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 则有φk,c(z)∈P[A,B]

证明定义p:Δ→C：

则p(z)在Δ内解析，且

(8)

(9)

(10)

根据式(8)—式(10)，微分方程(4)可写为

(11)

令Ω={0}，定义

(12)

由式(11)得出ψ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)∈Ω。

下面本文证明Rep(z)>0。 根据引理1，只要证明：当ρ为实数，σ≤-(1+ρ2)/2和σ+μ≤0时，有Reψ(iρ,σ,u+iv;z)<0。

设z=x+iy∈Δ，由式(12)可得

Reψ(iρ,σ,u+iv;z)=

(13)

因为

所以

从而

其中

由条件式(6)得

(14)

有Q(ρ)<0。 因为|x|<1,|y|<1,y2<1-x2, 由式(14)可得

(15)

设R(x)=mx2+nx+r,|x|<1,其中

则当|n|≥2|m|时，有

R(x)≥m+r-|n|=

上式即为式(7)。 因此函数ψ满足引理1的条件，从而Rep(z)>0,由此可得φk,c(z)∈P[A,B]。

定理得证。

令A=-B=1，由定理1可得以下推论。

特别地，当k=2时，zφ2,c(z)是近于凸函数。

若A,B,k和c满足不等式

(16)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 则有φk,c(z)∈P[A,B]。

(17)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 则有φk,c(z)∈P[A,B]。

证明由假设及定理1的证明过程，可得

同时,

ReΨ(iρ,σ,u+iv;z)≤

p2ρ2+q2ρ+r2=Q1(ρ)

其余证明同定理1，从略。