一元二次方程讨论根时忽视隐含条件的问题探讨

柴玉宏

摘    要：学生存在一元二次方程讨论根时忽视隐含条件的情况.教师在教学中应从题设所及的概念、关系式、定理等方面的具体特征入手，通过分析、比较、观察和联想等方法，挖掘和转化题设中的隐含条件，从而提高学生的解题能力，培养良好的数学素养和习惯.

关键词：一元二次方程;根的判别式;韦达定理;隐含条件

一元二次方程是初中代数中的一个重要内容，也是近几年中考数学的一个热门考点，特别是解含有字母系数的一元二次方程问题，是初三学习二次函数图象和性质的基础，也是高中数学的参数思想在初中的初步渗透.在教学实践中笔者发现，有时题目难度不大，但学生却容易出错，其中解题过程中忽视隐含条件是一个主要原因.在解含有字母系数的一元二次方程时，学生经常容易忽视题设中的隐含条件，只考虑已经给出的明显条件，缺乏挖掘题目中隐含条件的能力，往往得出不满足题意的结果，或者遗漏某些满足题意的结果，从而导致解题错误.

挖掘题目中的隐含条件，需要有扎实的基础知识、熟练的基本技能、灵活的思维能力、严谨的解题方法，根据笔者多年的教学实践经验，本文通过列举一些一元二次方程讨论根时忽视隐含条件的易错题为范例进行分析，从题设所及的数学概念、关系式、定理等方面的具体特征入手，通过分析、比较、观察和联想等方法，挖掘和转化题设中的隐含条件，整理与归纳含有字母系数的一元二次方程平时容易出错的几类问题，提高解题能力，培养良好的数学素养和习惯，使易错题变成易对题，力争达到解题“会而必对，对而必全”的效果.

一、条件隐含在方程二次项的系数中

（一）方程[ax2+bx+c=0]有两个实数根时要注意a≠0的情况

若方程[ax2+bx+c=0]有兩个实数根，则这个方程一定是一个一元二次方程，即a≠0.若a=0，这个方程就是一元一次方程，它只有一个实数根，不可能有两个实数根，所以当已知方程有两个实数根时，要注意隐含的条件a≠0.

例1   当m为何值时，方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]无实数根？对于这个m值的范围方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]是否有两个不相等的实数根？

错解再现   ∵方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]无实数根，∴[Δ]<0.

即[Δ]=[-2（m+2）2-4m（m+5）]<0，解得m>4.

由方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]，得[Δ1]=[-2（m+2）2-4（m-5）m]=36m+16.

当m>4 时，有36m+16>0.

∴方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]有两个不相等的实数根.

错因解析   当m=5时，同时能满足m>4 与36m+16>0两个条件，但是第二个方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]当m=5时变成一元一次方程，不可能有两个不相等实数根，所以有错误，忽视了第二个方程二次项系数不等于0这个隐含条件.同时也要考虑第一个方程二次项系数m≠0.

正确解法   ∵方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]无实数根，∴[Δ]<0，m≠0.

即[Δ]=[-2（m+2）2-4m（m+5）]<0 ，m≠0，解得m>4.

由方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]，得[Δ1]=[-2（m+2）2-4（m-5）m]=36m+16.

当m>4 ，且m≠5时，有 36m+16>0.

∴方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]有两个不相等的实数根.

（二）方程[ax2+bx+c=0]有实数根时要注意a=0的情况

若方程[ax2+bx+c=0]有实数根，则可能有两个或一个实数根两种情况，即这个方程是一元二次方程或一元一次方程，所以要对二次项的系数进行分类讨论，要注意隐含的条件a=0和a≠0.

例2   求证：关于x的方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有实数根.

错解再现    由[Δ]=[-（m+2）2-4m=m2+4]，∵[m2]>0，∴[m2+4]>0，即[Δ]>0.

∴方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有两个不相等的实数根.

错因解析   这个方程有实数根，但没有说有两个实数根，当m=0时，原方程变成-2x+1=0， x=[12]也有实数根，所以证题过程不完整，只考虑二次项系数不等于0时方程有两个实数根的情况，没有考虑二次项系数m=0时方程是一元一次方程有实数根的情况.

正确解法   当m≠0时，[Δ]=[-（m+2）2-4m=m2+4]，∵[m2]>0，∴[m2+4]>0.

即[Δ]>0，∴方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有两个不相等的实数根.

当m=0时，-2x+1=0，x=[12].

∴关于x的方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有实数根.

二、条件隐含在数学概念中

数学问题是用数学语言（包括文字、符号、图形）来表述的，题目中所提供的数学概念本身就包含着隐含条件，这些隐含条件不依赖于题目本身而独立存在，所以在理解题意的基础上更要理解数学概念本身的意义，理解概念的内涵和外延，注意概念成立的条件.若方程[ax2+bx+c=0]是一元二次方程，则隐含着a≠0，必有两个实数根，或无实数根等条件.

例3   已知方程[（m-2）xm2-5m+8][+x+][5=0]，

当m为何值时这个方程是一元二次方程？当m为何值时这个方程是一元一次方程？

错解再现   当[m2-5m+8=2]，[m2-5m+6=0]，∴m=2或m=3时方程为一元二次方程.当[m2-5m+8=1]，∵[Δ]<0，∴不存在m的值使这个方程是一元一次方程.

错因解析   对于第一问来说，当m=2时方程变为一元一次方程，所以m=2应舍去.对于第二问只考虑了[（m-2）xm2-5m+8]为一次项，得到m的值不存在，当m=2时方程本身就变为一元一次方程x+5=0，遗漏了m=2.

正确解法   当[m2-5m+8=2]且m≠2时方程是一元二次方程，即m=3时方程为一元二次方程.

当[m2-5m+8=1]且m≠2，∵[Δ]<0，∴m不存在.

∴当m=2时这个方程是一元一次方程.

三、条件隐含在根与系数的关系式中

一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理，课本中的叙述是：如果[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0]的两个根，那么[x1+x2=-ba，x1?x2=ca].

韦达定理推导的前提是一元二次方程有两个实数根，即一元二次方程首先要满足[Δ]≥0，因此，在用韦达定理时，要注意隐含条件[Δ]≥0.

例4   已知[2x2+kx-2k+1=0]的两个实数根是a，b，且满足[a2+b2=294]，求k的值.

错解再现   由根与系数的关系，得[a+b=-k2，ab=1-2k2].

∵[a2+b2=（a+b）2-2ab=-k22-2×1-2k2=14k2-1+2k=294]，

∴[k2+8k-33=0]，得k=-11或k=3.

錯因解析   ∵方程[2x2+kx-2k+1=0]有两个实数根，∴应满足[Δ]≥0这一隐含条件，即[k2-4×2（-2k+1）=k2+16k-8]≥0，当k= -11时，[Δ]< 0.

正确解法   由根与系数的关系，得[a+b=-k2，ab=1-2k2].

∵[a2+b2=（a+b）2-2ab=-k22-2×]

[1-2k2=14k2-1+2k=294].

∴[k2+8k-33=0]，得k=-11或k=3.

又∵方程[2x2+kx-2k+1=0]有两个实数根，∴[Δ]≥0.

即[k2-4×2（-2k+1）=k2+16k-8]≥0，当k= -11时，[Δ]<0.

∴k=-11舍去，∴k= 3.

四、条件隐含在题设的关系式中

隐含条件隐含在题设的某一个条件中，往往这个条件和解题需要的这个隐含条件是等价的，找到还相对容易一些，但有些隐含条件不是隐含在某一个条件中，而是深藏在题设几个条件之间的关系中，要求仔细分析题意，清楚各条件之间的内在关系，需要一定的“雾里看花”能力，尽快得到解题所需的隐含条件.

例5   已知x，y为实数，方程[x2+2x-5=0， y2+2y-5=0]，求[1x+1y]的值.

错解再现  ∵[x2+2x-5=0，y2+2y-5=0]，

∴x，y是一元二次方程[z2+2z-5=0]的两个实数根.

由韦达定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

错因解析   ∵两个方程[x2+2x-5=0，][ y2+]

[2y-5=0]的判别式[Δ]=[22-4×1×（-5）=24]>0，只有在x≠y时，x，y才是一元二次方程[z2+2z-5=0]的两个实数根，由韦达定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

还有一种情况是当x=y时，[x=y=-2±242=-1±6]，

∴[1x+1y=2x=2-1±6=25（1±][6）]，

忽视了x=y这个隐含条件.

正确解法  ∵每个方程[x2+2x-5=0， y2+2y-5=0]的判别式[Δ]=[22-4×1×（-5）=24]>0，只有在x≠y时，x，y才是一元二次方程[z2+2z-5=0]的两个实数根，由韦达定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

当x=y时，[x=y=-2±242=-1±6]，

∴[1x+1y=2x=2-1±6=25（1±6）]，

∴[1x+1y]的值分别是：[25]，[25（1+6）]，

[25（1-6）].

五、条件隐含在解题过程中

一元二次方程讨论根时，除了条件隐含在题中的概念、公式、定理应用、已知条件的关系式中，还有些隐含条件是产生在解题过程中，要发现这些有用的隐含条件，需要更强的“火眼金睛”来及时捕捉.

（一）求方程根的算术平方根时要注意两根的符号

如果[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0]的两个根，那么[x1+x2=-ba， x1?x2=ca]，由a，b，c的符号可以判断隐含条件两根的正负.

例6   若α，β是一元二次方程[2x2+3x+1=0]的两根，求[αβ+βα]的值.

错解再现   由韦达定理得[α+β=-32，]

[αβ=12].

∴[αβ+βα]=[αββ2+αβα2=αββ+αβα]=[αβ（1α+1β）=αβαβ（α+β）]=[-3212=-322].

错因解析   从解题的过程来看，似乎没有问题，但这个答案显然是错误的，因为对于任意两个实数α，β，[αβ+βα]的值一定是大于0的，为什么答案会出现负数？因为解题过程中忽视了隐含条件α<0，β<0，而这个条件是在解题过程中由[α+β=-32，αβ=12]产生的，因为两个数和为负，积为正，则这两个数同为负数，不可能有α>0，β>0这种情况.

正确解法   由韦达定理得[α+β=-32，]

[αβ=12]，

∵两实数α，β和为负数，积为正数，∴α<0， β<0.

∴[αβ+βα]=[αββ2+αβα2=αβ-β+αβ-α]=[ -αβ（1α+1β）= -αβαβ（α+β）]=- [-3212=322].

（二）代数式求值时要注意相关方程存在实数根

当x为实数，代数式[ax2+bx]的值等于c的隐含条件是关于[x]的一元二次方程[ax2+bx=c]有两个实数根.

例7   已知实数[x]，满足[（x2+2x）2+2x2+4x=15]，求代数式[x2+2x]的值.

错解再现   ∵[（x2+2x）2][ +2（x2+2x）] -15=0，

分解因式得[（x2+2x+5）][（x2+2x-3）][=0].

∴[x2+2x=-5]或[x2+2x=3].

错因解析   当[x2+2x=-5]时，一元二次方程[x2+2x+5=0]无实数根，所以[x2+2x=-5]不存在.

正确解法   由[（x2+2x）2+2（x2+2x）-15]

[=0]，

分解因式得[（x2+2x+5）（x2+2x-3）=0].

∴[x2+2x=-5]或[x2+2x=3].

当[x2+2x=-5]时，一元二次方程[x2+2x+5=0]无实数根，[x2+2x=-5]不存在.

∴[x2+2x=3].

（三）一元二次方程的根要注意它的实际意义

在解一元二次方程的应用题时，求出的根除了满足方程的要求外，还要符合实际意义，即注意根的适用范围、非负性、取整性等，要注意隐含条件，舍去不合题意的根.

例8   在Rt△ABC中，∠C=[90°]，斜边c=5，两直角边的长a，b是一元二次方程[x2-mx+2m-2=0]的两根，求m的值.

错解再现   在Rt△ABC中，

∵∠C=[90°]，∴[a2+b2=c2].

∵[a2+b2=25]，∴[（a+b）2-2ab=25.]又∵a+b=m，ab=2m-2，

∴[m2-4m-21=0].

∴[m1=7， m2=-3].

當[m1=7，m2=-3]时，都满足[Δ]>0，∴m=7或m=-3.

错因解析   ∵a，b是直角三角形的两边，m的值只能取正数，应舍去负数.

正确解法   在Rt△ABC中，

∵∠C=[90°]，∴[a2+b2=c2].

∵[a2+b2=25]，∴[（a+b）2-2ab=25].

又∵a+b=m，ab=2m-2.

∴[m2-4m-21=0]，∴[m1=7， m2=-3].

当[m1=7， m2=-3]时，都满足[Δ]>0，

∵a，b是直角三角形的两边，m的值只能取正数，m=-3应舍去，∴m=7.

总之，通过以上列举的几道典型例题的分析可以看出，隐含条件对解题的影响极大，它既干扰解题的思路，造成解题结果错误或答案遗漏，又有解题的暗示作用，在解题时若能及时发现最有价值的隐含条件，问题就会迎刃而解.因此，在解题中要养成认真审题、周密思考、思路严谨、过程完整的良好习惯，善于捕捉题设中的“蛛丝马迹”，多角度、多方向、多层次地挖掘隐含条件，解题才能达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果.