数理统计方法在证券投资中的运用

张凌睿

摘要：当今金融市场上，证券价格、交易量等信息的数量巨大。通过定性分析投资者获取超额收益越来越困难。在投资分析中，合理利用数学方法已经成为一种比较有效的分析方法。将证券收益率作为随机变量，引入数学期望和方差的概念，通过理论分析和实例分析相结合，对两个证券组合的投资状况进行了数学度量，并对其相关性进行了实证分析，证明了相关系数对投资风险的影响。

关键词：数理统计  证券投资  应用  收益

一、引言

金融市场主要由货币市场、资本市场、外汇市场和黄金市场构成，证券市场则是其中的重要组成部分。股票市场的基本功能是融资、资本定价和资本配置。股票投资也是投资的重要组成部分。对证券投资者而言，面对证券价格、成交量、公司基本面等大量信息，单纯的定性和判断越来越难以获得超额收益。通过数学方法的合理运用，可以更好地引导人们客观、理性地认识和总结投资规律，提高投资的收益。通过几种常用的统计分析方法，对数理统计在证券投资中的实际应用进行了分析。

伴随着经济的快速发展，人们的证券、期货、股票投资观念发生了变化，如何用最少的人力、财力实现利润的最大化显得尤为重要。生活中，有的人每天在电脑前看股票市场行情，但是仍然不能得到很好的回报，而有的人只需定期分析股票的走势，然后用自己的数学知识去判断方向，就可以得到较高的回报。虽然其他因素也不能排除，但是数学知识的运用却显得尤为重要。经济学的数学化已逐渐成为不可阻挡的趋势，数学知识的重要性日益凸显。尤其是近十年来，随着经济的快速发展，金融、保险等经济学科的应用日益广泛。随机性事件的概率论研究在经济领域的发展越来越快，体现了它强大的功能和效率。当代实证经济学的发展甚至可以说是概率统计知识在经济模型中的具体应用。概率论和数理统计之所以能够迅速地被应用到经济领域，是因为它们的特点和优点：第一，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在（0，1）之间，这与经济现象的现实相吻合;第二，它具有严格、精确的逻辑推理，并且利用已有的概率论模型或概率论定理，得出新的结果，用直觉上难以或不易得出的结论来解释经济现象的本质。概率论理论在经济学中的运用，使经济学成为一门更加规范的科学，更加符合经济行为的规律，使人们能够从更深的层次找到两者之间的联系。

二、证券投资的含义

第一，我们理解证券的概念，证券就是证券持有者用证券获得一定的收益。例如股票、债券、本票、汇票、支票、保险单、存单、提单等都是证券。按照证券的性质，证券可以分为两类：有价证券和凭证式证券。在这些权利中，有价证券是指具有一定面值，能证明持有者有权按规定时间获得一定收益，能自由转让和交易的所有权或债权凭证，基本形式是股票和债券。这些债券可以分为公司债券，国库券和不动产抵押债券。证券本身并无价值，只因其能为持有者带来一定的股息或利息收入，因而可在证券市场上自由交易流通。

然后，我们开始了解股票市场。证交所是买卖证券商品的市场，是买卖股票、公司债券、政府债券及其他有价证券的地方。股票交易所通过发行各类证券，吸收长期资金，向政府和企业提供财政资金和长期资金。具体地说，它包括两个部分：证券发行市场和证券交易市场。总体而言，证券市场属于长期金融市场（或资本市场），是其中的一个组成部分。证券市场的交易形式可分为股票市场和债券市场，它们分别由发行市场和流通市场构成。

股市可以分为一级市场和二级市场。发行市场也称为一级市场，是指投资者、出资人和发行人（通常是投资银行）共同组成的新证券发行市场。其发行模式分为公开和非公开两种。投资银行向社会中的非特定投資者出售证券;而在公开发行中，投资银行或募集机构直接向特定投资者发行证券。在发行新的证券时，投资者以低于证券面值的价格购买证券，称为折价发行;投资者以等于证券面值的价格购买证券，称为平价发行;投资者以高于证券面值的价格购买证券，称为溢价发行。但是对股票来说，他们只会以面值或溢价发行。

第二类市场是证券发行后的转让与流通市场。证券在二级市场交易的价格称为证券市场价格，相当于预期当前证券收益对市场利率的比率。二级市场按其组织形式可以分为证券交易所和场外交易市场。一般来说，只有信誉好、资金雄厚的大企业发行的证券（或政府债券）才有资格在本所上市，而那些没有资格在本所上市的证券只能在场外交易市场进行交易。

证交所的业务范围主要包括：组织上市证券的管理、提供上市证券的集中交易场所、办理证券的集中结算交割、提供上市证券的交易信息、进行证券的集中交易;经证交所批准或授权的其他证券业务。股票投资是指投资者（法人或自然人）为获得股息、利息和资本收益而购买证券，如股票、债券、基金债券及其他衍生产品的投资行为和过程，这是间接投资的重要形式之一。它具有如下特征：证券投资具有很强的市场竞争力，它是一种风险投资，能给证券带来预期的收益;投资与投机是证券投资活动中不可或缺的两个方面;证券投资二级市场不会增加总的社会资本，而是在持有者之间重新分配。股票投资具有以下功能：股票投资是社会筹集资金的重要渠道;股票投资有助于规范资本投资方向，提高资金使用效率，引导资源合理流动，实现资源优化配置;股票投资有助于改善企业经营管理，提高企业经济效益和社会知名度，促进企业行为合作;股票投资为中央银行实施金融宏观调控提供了重要手段，对促进国民经济持续高效发展具有重要意义;股票投资有助于促进国际经济交流。

三、证券投资组合的重要性

投资收益水平和风险大小是证券投资者最关心的问题，投资者在选择投资策略时，希望收益越大风险越小。但高回报与高风险相伴，投资者只能选择在给定收益率的情况下尽可能降低风险的投资策略;或在愿意承担风险的情况下追求尽可能提高总收益率的目标;他们还可以权衡利弊，做出自己满意的投资决定。投入的资金越大，风险就越大。关键是如何采取多种防范措施和方法来降低投资风险。减少风险的有效方法是组合投资，即投资者选择一组证券，而非一种证券作为投资对象，再将资金按不同比例分配于各种证券，从而达到分散风险的目的。债券投资不能简单地将基金分为购买证券的几个品种，而应该是一个最佳的投资组合。这就是说，在这样的组合中，收益是确定的，风险是最小的，或者说，风险是确定的，收益是最大的。

四、我国证券业统计方法应用现状

伴随着我国证券市场的不断发展，数理统计方法在证券领域的研究与应用也日益深入。在证券领域中，数理统计方法的研究与应用主要从股票定价、证券资产组合、证券资产风险分析以及市场分析等几个方面展开。就股票定价模型而言，通常可分为五种模式：实物资产定价模式、财务比率预测定价模式、企业基础理论定价模式（包括零增长、稳定增长和多重增长）、资本资产定价模式和比较分析定价模式。在此基础上，本文提出了三个新的定价模型，分别是：基于股票特性的定价模型、基于股票理论价值度量的定价模型以及基于区间分析的定价模型。本文提出的8种股票定价模型考虑了各种情况下股票价值的确定。

近代证券投资理论是证券投资与统计结合的典型实例。股票投资理论是西方股票投资分析的一个重要组成部分。事实上，它是金融理论与数理统计相结合而形成的新兴交叉学科。本文研究的模型包括：均值差模型、无风险借贷扩张模型、单指标模型、多指标模型、资本资产定价模型、特征模型、套利定价模型、效率市场检验等几个方面的统计模型。股票投资的收益主要取决于股票投资组合的质量，好的资产组合能带来可观的收益，坏的资产组合会造成资金的损失。因而，对证券组合的研究和应用成为数理统计在证券领域中的一个热点问题。

现有的新出现的投资组合模型包括：稳定分布假设与组合模型、最小损失概率原理与风险资产组合模型、多组合投资风险模糊极小化方法、无风险利率变化下的组合优化方法、无风险贷款下的组合优化方法等。将统计学方法应用于证券组合风险及可行性分析，主要是通过数理统计方法的研究与应用实现的。通过分析，投资者可以更好地理解中国股票市场的行为，做出理性的投资决策。

五、证券投资中数理统计分析方法

一般而言，理性投资者在进行投资决策时最关心的两个指标是：投资收益和投资风险。因为投资收益受到很多因素的影响，所以它可以被看作是一个随机变量。随机性实验中，每个可能结果的概率与结果乘积。客观地反映了随机变量的均值;自然得可以用随机变量的数学期望来描述和反映平均投资收益。数理期望越大，期望收益率就越高，利润就越大。所以，当我们知道了收益分布函数或者用历史数据拟合了收益分布时，就可以用随机变量的期望计算方法计算出预期收益。如果R是一个离散的随机变量，并且其分布规律是p{R=rk}=PK，那么预期收益e（R）=∑∞k=1rkpk;如果R是一个连续的随机变量，并且其概率密度函数是f（R），那么预期收益e（R）=+∞_RF（R）Dr。

我们通常把价格或收益的波动和极值的出现视为投资的风险。研究表明，方差可用于测量随机变量与它们的数学期望（即平均）之间的偏差。所以用方差来衡量风险是适当的，方差可以衡量实际收益和预期收益之间的偏差。若R是一个离散的随机变量，则方差2=e（R2）-[e（R）]2;若R是一个连续的随机变量，则方差2=BA=[R-e（R）]2F（R）Dr。在进行投资决策时，有理性的人只需要判断收益与风险的比率，他们就能购买具有高预期收益与低风险的证券。但在大多数情况下，这两个因素都不能被考虑在内，只能通过投资偏好或其他指标进行判断。

证券投资组合的投资判断是在实际投资中，我们经常会遇到多种可投资证券，那需要证券组合。为简化分析过程，本文主要对两种证券组合进行分析。如果投资者面临的是A、B两类不同风险收益的证券，就需要进行组合投资。假定配给比例为x，1-x（0≤x≤1），配给的证券分别为A和B。只需将它分为两种情况。

首先，如果E（A）>E（B），而σ2（A）<σ2（B），那么A证券的预期收益率比B高，而风险（方差）小于B，那么我们应该全仓配置A证券，而不是B证券，此时即x=1。

当E（A）>E（B）时，σ2（A）>σ2（B）时，是第二种情况。在这个时候，高收益和低风险不可兼得，合适的组合是必需的。这个组合的预期收益是：

E（Porfolio）=E[xA+（1-x）B]=xE（A）+（1-x）E（B）

变异数：θ2（porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+2σ2（B）

在这里，我们利用上面的两个式子求x，即：dE（Porfolio）dx=E（A）-E（B）>0

可见，导函数大于零，即预期收益率随x的增大而增大。如果x=1，则预期收益率最高，E（A）。

d2σ（Porfolio）

Dx=2xσ2（A）+2（1-x）σ2（B）-4xρσ（A）σ（B）+2ρσ（A）σ（B）上式可解为：x1=02（B）-ρσ2（A）σ2（B）σ2（A）-2ρσ2（A）-2α（A）σ2（B）+σ2（B）

结果表明，当x=x1时，σ2（Porfolio）求得最小值，也就是组合的方差和风险均为最小。因此，在第二种情况下，通过合理配置，可以实现低风险投资。

组合风险相关系数的影响。如果E（A）>E（B），那么σ2（A）>σ2（B）。复合方差是：

θ2（Porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+（B）

结果表明，相关性也会影响风险大小。dρ=2x（1-x）σ（A）σ（B）>0

所以风险随着ρ的增大而增大。由于ρ的取值范围为[1，1]，因此两种证券是完全相关的。也就是ρ=1，是最危险的。当相关系数减小时，当两种证券都完全为负相关时，某些风险就会“分散”，也就是说，当ρ=-1时，风险就会减小。上述说明就是我们常说的“请勿将鸡蛋放在同一篮子”的理念。现实生活中，在多个概率变量之间，完全线性且不存在正相关ρ<1的情形。

[xσ（A）+（1-x）σ（B）]2（σ2（Porfolio）

所以，如果将这些因素结合在一起，部分的“分散”（也就是部分的风险）将被“集中”。但注意，即使在多个随机变量之间，也不完全与线性负相关，ρ>-1的情况下，风险通常被认为是σ2（Porfolio）][xσ（A）-（1-x）σ（B）]2≥0，尽管通过投资组合投资可以降低风险，但通常无法消除风险。

六、结束语

金融业的发展极大地提高了货币等资本的流动性，实现了资源的有效合理配置，促进了经济活动和金融体系的健康运行和发展，成为国民经济发展不可缺少的经济中介。证券收益率是一种随机变量形式。本文利用数理统计中的一些概念和关键指标，对不同要求的证券组合投资进行了实证研究。可想而知，随着大数据时代的到来，跨学科的蓬勃发展，数理统计在金融投资领域的应用将会越来越广泛。

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作者单位：重庆工商大学